त्रिभुज

समरूपता

सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि सभी समरूप आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं।

समान संख्या वाली भुजाओं के बहुभुज समरूप होते हैं, यदि:


प्रमेय 1: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

figure for theorem 1 on similarity of triangles

संरचना: ABC एक त्रिभुज है। DE || BC, और भुजा AB को रेखा DE बिंदु D पर काटती है, तथा भुजा AC को बिंदु E पर काटती है।
B को E से तथा C को D से मिलाइए। अब DN ⊥ AB और EM ⊥ AC खींचिए।

सिद्ध करना है: AD/DB = AE/EC

प्रमाण: (1/2) x AD x EM
इसी तरह;
ar(BDE) = (1/2) x DB x EM
ar(ADE) = (1/2) x AE x DN
ar(DEC) = (1/2) x EC x DN

इसलिए; [ar(ADE)]/[ar(BDE)] = [(1/2) x AD x EM]/[(1/2) x DB x EM] = AD/DB
इसी तरह; [ar(ADE)]/[ar(DEC)] = AE/EC
त्रिभुज BDE और DEC एक ही आधार DE पर बने हैं और समान समांतर रेखाओं DE और BC के बीच हैं।
इसलिए, ar(BDE) = ar(DEC)

ऊपर दिए गए समीकरण से, यह स्पष्ट है;
AD/DB = AE/EC सिद्ध हुआ।


प्रमेय 2: यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

figure for theorem 2 on similarity of triangles

संरचना: ABC एक त्रिभुज है जिसमें भुजा AB और AC को एक रेखा समान अनुपात में विभाजित करती है। इसका मतलब है; AB/DB = AE/EC

सिद्ध करना है: DE || BC

मान लीजिए कि DE और BC समांतर नहीं हैं। अब एक रेखा DE’ खींचिए जो BC के समांतर है।

प्रमाण:
यदि DE’ || BC, तो;
AB/DB = AE’/E’C

प्रमेय के अनुसार;
AB/DB = AE/EC
इसलिए पहले प्रमेय के अनुसार; E और E’ निश्चित रूप से संपाती होंगे।
इससे सिद्ध होता है कि DE || BC

प्रमेय 3: यदि दो त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) होती हैं और इसलिए ये त्रिभुज समरूप होते हैं।

figure for theorem 3 on similarity of triangles

संरचना: दो त्रिभुज ABC और DEF हैं जिनके संगत कोण बराबर हैं। इसका मतलब है; ∠ A =∠ D, ∠ B = ∠ E और ∠ C = ∠ F

सिद्ध करना है: AB/DE = AC/DF = BC/EF
दूसरे त्रिभुज में रेखा PQ खींचिए ताकि DP = AB और PQ = BC

प्रमाण:
ΔABC ≅ ΔDPQ
क्योंकि इन दोनों त्रिभुज में संगत भुजाएँ समान हैं।
इसका मतलब है; ∠ B = ∠ P = ∠ E और PQ || EF
इसलिए; DP/PE = DQ/QF
इसलिए; AB/DE = AC/DF
AB/DE = BC/EF
इसलिए; AB/DE = AC/DF = BC/EF सिद्ध हुआ।



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