द्विघात समीकरण

अभ्यास 4.1

प्रश्न 1: जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं:

(a) `(x + 1)^2 = 2(x – 3)`

उत्तर: LHS: `(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1`
(क्योंकि `(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2`)
RHS: `2(x – 3) = 2x – 6`
अब; `x^2 + 2x + 1 = 2x – 6`
या, `x^2 + 2x + 1 – 2x + 6 = 0`
या, `x^2 + 7 = 0`

यह समीकरण `ax^2 + bx + c = 0` के रूप में है; इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(b) `x^2 - 2x = (- 2)(3 – x)`

उत्तर: `x^2 – 2x = (-2)(3 – x)`
या, `x^2 – 2x = -6 – 2x`
या, `x^2 – 2x + 2x + 6 = 0`
या, `x^2 + 6 = 0`

यह समीकरण `ax^2 + bx + c = 0` के रूप में है; इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(c) `(x – 2)(x + 1) = (x – 1 (x + 3)`

उत्तर: LHS: `(x – 2)(x + 1)`
`= x^2 + x – 2x – 2`
`= x^2 – x – 2`

RHS: `(x – 1)(x + 3)`
`= x^2 + 3x – x + 3`
`= x^2 + 2x + 3`

अब; `x^2 – x – 2 = x^2 + 2x + 3`
या, `x^2 – x – 2 – x^2 – 2x – 3 = 0`
या, `- 3x – 5 = 0`

यह समीकरण `ax^2 + bx + c = 0` के रूप में नहीं है; इसलिए यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।


(d) `(x – 3)(2x + 1) = x(x + 5)`

उत्तर: LHS: `(x – 3)(2x + 1)`
`= 2x^2 + x – 6x – 6`
`= 2x^2 – 5x – 6`

RHS: `x(x + 5)`
`= x^2 + 5x`
अब; `2x^2 – 5x – 6 = x^2 + 5x`
या, `2x^2 – 5x – 6 – x^2 – 5x = 0`
या, `x^2 – 10x – 6 = 0`

यह समीकरण `ax^2 + bx + c = 0` के रूप में है; इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है|

(e) `(2x -1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)`

उत्तर: LHS: `(2x – 1)(x – 3)`
`= 2x^2 – 6x – x + 3`
`= 2x^2 – 7x + 3`

RHS: `(x + 5)(x – 1)`
`= x^2 – x + 5x – 5`
`= x^2 + 4x – 5`
अब; `2x^2 – 7x + 3 = x^2 + 4x – 5`
या, `2x^2 – 7x + 3 – x^2 - 4x + 5 = 0`
या, `x^2 – 11x + 8 = 0`

यह समीकरण `ax^2 + bx + c = 0` के रूप में है; इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(f) `x^2 + 3x + 1 = (x – 2)^2`

उत्तर: `x^2 + 3x + 1 = (x – 2)^2`
या, `x^2 + 3x + 1 = x^2 – 4x + 4`
या, `x^2 + 3x + 1 – x^2 + 4x – 4 = 0`
या, `7x – 3 = 0`

यह समीकरण `ax^2 + bx + c = 0` के रूप में नहीं है; इसलिए यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(g) `(x + 2)^3 = 2x(x^2 - 1)`

उत्तर: LHS: `(x + 2)^3`
समीकरण `(a + b)^3 = a^3 + 3a^2\b + 3ab^2 + b^3`, का इस्तेमाल करने से हमें निम्न समीकरण मिलता है,
`(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8`

RHS: `2x(x^2 – 1)`
`= 2x^3 – 2x`
अब; `x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 2x^3 – 2x`
या, `x^3 + 6x^2 + 12x + 8 – 2x^3 + 2x = 0`
या, `- x^3 + 6x^2 + 14x + 8 = 0`

यह समीकरण `ax^2 + bx + c = 0` के रूप में नहीं है; इसलिए यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(h) `x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x – 2)^3`

उत्तर: LHS: `x^3 – 4x^2 – x + 1`

RHS: `(x – 2)^3`
`= x^3 – 8 – 6x^2 + 12x`
अब; `x^3 – 4x^2 – x + 1 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8`
या, `x^3 – 4x^2 – x + 1 – x^3 + 6x^2 – 12x + 8 = 0`
या, `2x^2 – 13x + 9 = 0`

यह समीकरण `ax^2 + bx + c = 0` के रूप में है; इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।


प्रश्न 2: निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए:

(a) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 मी2 है। क्षेत्र की लंबाई (मीटर में) चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।

उत्तर: मान लीजिए चौड़ाई = x
इसलिए लंबाई `= 2x + 1`
क्षेत्रफल = लंबाई `xx` चौड़ाई
इसलिए; `x(2x + 1) = 528`
या, `2x^2 + x = 528`
या, `2x^2 + x – 528 = 0`

(b) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।

उत्तर: मान लीजिए कि पहला पूर्णांक = x
इसलिए दूसरा पूर्णांक `= x + 1`
प्रश्न के अनुसार; `x(x + 1) = 306`
या, `x^2 + x = 306`
या, `x^2 + x – 306 = 0`

(c) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों मे) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।

उत्तर: मान लीजिए कि रोहन की वर्तमान आयु = x
इसलिए रोहन की माँ की वर्तमान आयु `= x + 26`
आज से तीन वर्ष बाद, रोहन की आयु `= x + 3`
आज से तीन वर्ष बाद, रोहन की माँ की आयु `= x + 29`
प्रश्न के अनुसार; `(x + 3)(x + 29) = 360`
या, `x^2 + 29x + 3x + 87 = 360`
या, `x^2 + 32x + 87 = 360`
या, `x^2 + 32x + 87 – 360 = 0`
Or, `x^2 + 32x – 273 = 0`

(d) एक रेलगाड़ी 489 किमी की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 किमी प्रति घंटा कम होती तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

उत्तर: मान लीजिए कि रेलगाड़ी की चाल = x km/h
इसलिए, रेलगाड़ी की घटी हुई चाल `= x – 8` km/h
हम जानते हैं, समय = दूरी/चाल
इसलिए; `t = 480/3` …………..(1)
चाल घटने की स्थिति में, `t + 3 = (480)/(x – 8)`
या, `t = (480)/(x – 8) – 3` ………………. (2)

समीकरण (1) और (2) के अनुसार,
`(480)/(x) = (480)/(x – 8) – 3`
या, `(480)/(x) = (480 – 3(x – 8))/(x – 8)`
या, `(480)/(x) = (480 – 3x + 24)/(x – 8)`
या, `480(x – 8) = x(504 – 3x)`
या, `480x – 3840 = 504x – 3x^2`
या, `480x – 3840 - 504x + 3x^2 = 0`
या, `3x^2 - 24x – 3840 = 0`
या, `x^2 - 8x – 1280 = 0`



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