द्विघात समीकरण
अभ्यास 4.3 Part 2
प्रश्न 4: 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात आयु के व्युत्क्रम का योग 1/3 है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि रहमान की वर्तमान आयु = x
इसलिए 3 वर्ष पहले रहमान की आयु `= x – 3`
आज से 5 वर्ष बाद रहमान की आयु `= x + 5`
प्रश्न के अनुसार;
`1/(x-3)+1/(x+5)=1/5`
या, `(x+5+x-3)/((x-3)(x+5))=1/3`
या, `(2x+2)/(x^2+5x-3x-15)=1/3`
या, `6x + 6 = x^2 + 2x – 15`
या, `x^2 + 2x – 15 – 6x – 6 = 0`
या, `x^2 - 4x – 21 = 0`
या, `x^2 - 7x + 3x – 21 = 0`
या, `x(x – 7) + 3(x – 7) = 0`
या, `(x + 3)(x – 7) = 0`
ऋणात्मक मान को हटाने से, रहमान की आयु = 7 वर्ष
प्रश्न 5: एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि गणित के अंक = x
इसलिए, अंग्रेजी के अंक `= 30 – x`
यदि वह गणित में 2 अंक अधिक लाती है, तो गणित के अंक `= x +2`
यदि वह अंग्रेजी में 3 अंक कम लाती है, तो अंग्रेजी के अंक `= 30 – x – 3 = 27 – x`
प्रश्न के अनुसार,
`(x + 2)(27 – x) = 210`
या, `27x – x^2 + 54 – 2x = 210`
या, `25x – x^2 + 54 – 210 = 0`
या, `25x – x^2 – 156 = 0`
या, `x^2 – 25x + 156 = 0`
या, `x^2 – 12x – 13x + 156 = 0`
या, `x(x – 12) – 13(x – 12) = 0`
या, `(x – 12)(x – 13) = 0`
इसलिए, `x = 12` और `x = 13`
केस 1: यदि `x = 13`, अंग्रेजी के अंक `= 30 – 13 = 17`
केस 2: यदि `x = 12`, तो अंग्रेजी के अंक `= 30 – 12 = 18`
दोनों स्थितियों में, गणित में 2 अंक जोड़ने और अंग्रेजी से 3 अंक घटाने के बाद मिलने वाले अंकों का गुणनफल = 210
प्रश्न 6: एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि छोटी भुजा = x
इसलिए, बड़ी भुजा `= x + 30` और विकर्ण `= x + 60`
पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल करने से निम्न समीकरण मिलता है।
`(x + 60)^2 = x^2 + (x + 30)^2`
या, `x^2 + 120x + 3600 = x^2 + x^2 + 60x + 900`
या, `-x^2 + 60x + 2700 = 0`
या, `x^2 - 60x - 2700 = 0`
या, `x^2 - 90x + 30x - 2700 = 0`
या, `x(x - 90) + 30(x - 90) = 0`
या,`(x + 30)(x - 90) = 0`
या, `x = -30 and x = 90`
ऋणात्मक मान को हटाने पर, छोटी भुजा x = 90 m, बड़ी भुजा = 120 m और विकर्ण = 150 m
प्रश्न 7: दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि बड़ी संख्या = x
इसलिए, छोटी संख्या का वर्ग = 8x
प्रश्न के अनुसार;
`x^2 – 8x = 180`
या, `x^2 – 8x – 180 = 0`
या, `x^2 – 18x + 10x – 180 = 0`
या, `x(x – 18) + 10(x – 18) = 0`
या, `(x + 10)(x – 18) = 0`
इसलिए, `x = - 10` और `x = 18`
ऋणात्मक मान हटाने पर; `x = 18`
इसलिए, छोटी संख्या `= sqrt(8 xx 18) = sqrt(144) = 12`
इसलिए अभीष्ट संख्याएँ हैं; 12 और 18
प्रश्न 8: एक रेलगाड़ी समान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 किमी प्रति घंटा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड-ई की चाल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि रेलगाड़ी की चाल = x
हम जानते है; समय = दूरी/चाल
दी गई चाल की स्थिति में
`t = (360)/x`
बढ़ी हुई चाल की स्थिति में
`t – 1 = (360)/(x + 5)`
`t = (360)/(x + 5) + 1`
ऊपर दिये गए समीकरणों को मिलाने से निम्न समीकरण मिलता है;
`(360)/x = (360)/(x + 5) + 1`
या, `(360)/x = (360 + x + 5)/(x + 5)`
या, `360x + 1800 = x^2 + 365x`
या, `x^2 + 365x – 360x – 1800 = 0`
या, `x^2 + 5x – 1800 = 0`
या, `x^2 + 45x – 40x – 1800 = 0`
या, `x(x + 45) – 40(x + 45) = 0`
या, `(x – 40)(x + 45) = 0`
या, `x = 40` और `x = - 45`
ऋणात्मक मान हटाने पर, रेलगाड़ी की चाल = 40 किमी प्रति घंटा
प्रश्न 9: दो पानी के नल एक साथ एक हौज को `9\3/8` घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि छोटे नल द्वारा पानी भरने में लिया गया समय = x घंटे
इसलिए बड़े नल द्वारा पानी भरने में लिया गया समय `= x – 10`
छोटा नल 1 घंटे में टंकी का `1/x` भाग भरेगा।
बड़ा नल 1 घंटे में टंकी का `1/(x-10)` भाग भरेगा।
प्रश्न के अनुसार;
`1/x + 1/(x – 10) = 8/(75)`
या, `(x – 10 + x)/(x^2 – 10x) = 8/(75)`
या, `150x – 750 = 8x^2 – 80x`
या, `8x^2 – 80x – 150x + 750 = 0`
या, `8x^2 – 230x + 750 = 0`
या, `4x^2 – 115x + 375 = 0`
या, `4x^2 – 100x – 15x + 375 = 0`
या, `4x(x – 25) – 15(x – 25) = 0`
या, `(4x – 15)(x – 25) = 0`
या, `x = (15)/4` and `x = 25`
चूँकि `(15)/4` दोनों नलों द्वारा लिये गये समय के अंतर से कम है, इसलिए छोटे नल द्वारा लिया गया समय = 25 घंटे और बड़े नल द्वारा लिया गया समय = 15 घंटे
प्रश्न 10: मैसूर और बंगलोर के बीच के 132 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा कम समय लेती है। (मध्य स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 किमी प्रति घंटा अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि सवाड़ी गाड़ी की चाल = x, तो एक्सप्रेस रेलगाड़ी की चाल `= x + 11`
हम जानते हैं कि समय = दूरी/चाल
इसलिए `t = (132)/x`
और `t – 1 = (132)/(x + 11)`
या, `t = (132)/(x + 11) + 1`
दोनों समीकरणों को मिलाने से निम्न समीकरण मिलता है;
`(132)/x = (132 + x + 11)/(x + 11)`
या,`132x + 1452 = x^2 + 143x`
या, `x^2 + 143x - 132x - 1452 = 0`
या, `x^2 + 11x - 1452 = 0`
या, `x^2 + 44x - 33x - 1452 = 0`
या, `x(x + 44) - 33(x + 44) = 0`
या, `(x - 33)(x + 44) = 0`
इसलिए, `x = 33` और `x = - 44`
ऋणात्मक मान हटाने पर, सवाड़ी गाड़ी की चाल = 33 किमी प्रति घंटा
एक्सप्रेस रेलगाड़ी की चाल = 44 किमी प्रति घंटा
औसत चाल = `(33 + 44)/2 = 38.5` किमी प्रति घंटा
प्रश्न 11: दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 469 मी2 है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 मी हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर: हम जानते हैं कि परिमाप = 4 x भुजा
यदि दोनों वर्गों की भुजाएँ x और y हैं तो;
`4x – 4y = 24`
या, `x – y = 6`
या, `y = x – 6`
अब क्षेत्रफलों के योग को निम्न समीकरण द्वारा दिया जा सकता है;
`x^2 + (x-6)^2 = 468`
या, `x^2 + x^2 - 12x + 36 = 468`
या, `2x^2 - 12x + 36 - 468 = 0`
या, `2x^2 - 12x - 432 = 0`
या, `x^2 - 6x - 216 = 0`
या, `x^2 - 18x + 12x - 216 = 0`
या, `x(x - 18) + 12(x - 18) = 0`
या,(`x + 12)(x - 18) = 0`
इसलिए; `x = -12` और `x = 18`
इसलिए दिए गए वर्गों की भुजाएँ = 12 मी और 18 मी