पृष्ठ क्षेत्रफल और आयतन

अभ्यास 13.1 Part 2

प्रश्न 5: एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अंदर की ओर से काट कर एक अर्धगोलाकार गड्ढ़ा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस प्रश्न का हल पिछले प्रश्न की तरह निकाला जा सकता है। यहाँ पर अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल एक अवतल सतह के रूप में है।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

`6d^2-π(d/2)^2+2π(d/2)^2`

`=6d^2+π(d/2)^2`

`=(1)/(4)d^2(π+24)`


प्रश्न 6: दवा का एक कैप्सूल एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक एक अर्धगोला लगा हुआ है। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 मिमी है और उसका व्यास 5 मिमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

10 surface area volume exercise solution

उत्तर: बेलन की ऊँचाई `= 14 – 5 = 9` cm, त्रिज्या = 2.5 cm

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=2 πrh`
`=2 πxx2.5xx9=45 π cm^2`

अर्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=4 πr^2`
`=4 πxx2.5^2=25 π cm^2`

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=45 π+25 π`
`=70 π=220 cm^2`

प्रश्न 7: कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमश: 21 मी और 4 मी है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 मी है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, 500 रु प्रति वर्ग मी की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए।

10 surface area volume exercise solution

उत्तर: बेलन की त्रिज्या = 2 m, ऊँचाई = 2.1 m शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई = 2.8 m

बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=2πrh`
`=2πxx2xx2.1=8π m^2`

शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=πrl`
`=πxx2xx2.8=5.6π m^2`

कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=8.4π+5.6π`
`=14xx(22)/(7)=44 m^2`

कैनवस की लागत = दर × पृष्ठीय क्षेत्रफल

`= 500 xx 44 = Rs. 22000`


प्रश्न 8: ऊँचाई 2.4 सेमी और व्यास 1.4 सेमी वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: त्रिज्या = 0.7 cm और ऊँचाई = 2.4 cm

संरचना का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के ऊपरी सतह का क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=2πrh`
`=2πxx0.7xx2.4=3.36π cm^2`

बेलन के ऊपरी सतह का क्षेत्रफल

`=πr^2`
`=πxx0.7^2=0.49π cm^2`

शंकु की तिर्यक ऊँचाई

`l=sqrt(h^2+r^2)`

`=sqrt(2.4^2+0.7^2)`

`=sqrt(5.76+0.49)`

`=sqrt(6.25)=2.5 cm`

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=πrl`
`=πxx0.7xx2.5=1.75π cm^2`

इसलिए संरचना के बचे हुए भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल

`3.36π+0.49π+1.75π`
`=5.6π=17.6 cm^2`

प्रश्न 9: लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसा की आकृति में दिखाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 सेमी है और आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी है तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

10 surface area volume exercise solution

उत्तर: त्रिज्या = 3.5 cm, ऊँचाई = 10 cm

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो अर्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=2πrh`
`=2πxx3.5xx10=70π cm^2`

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=4πr^2`
`=4πxx3.5^2=49π`

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

`=70π+49π=119π`
`=119xx(22)/(7)=374 cm^2`



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