पृष्ठ क्षेत्रफल और आयतन

अभ्यास 13.3 Part 1

प्रश्न 1: त्रिज्या 4.2 सेमी वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 सेमी वाले एक बेलन के रूप में ढ़ाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गोले की त्रिज्या = 4.2 cm, बेलन की त्रिज्या = 6 cm

गोले का आयतन

`=(4)/(3) πr^3`

`=(4)/(3) πxx4.2^3`

बेलन का आयतन

`=πr^2h`
`=πxx6^2xxh`

चूँकि बेलन का आयतन = गोले का आयतन

इसलिए बेलन की ऊँचाई

`h=(4xxπxx4.2^3)/(3xxπxx6^2)`

`=2.744 cm`

प्रश्न 2: क्रमश: 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गोले की त्रिज्याएँ = 6 cm, 8 cm, 10 cm

गोले का आयतन

`=(4)/(3) πr^3`

तीनों गोलों का कुल आयतन

`=(4)/(3) π(6^3+8^3+10^3)`

`=(4)/(3) π(616+512+1000)`

`=(4)/(3) πxx1728`

इसलिए सबसे बड़े गोले की त्रिज्या

`=3_sqrt(1728)=12 cm`

प्रश्न 3: व्यास 7 मी वाला 20 मी गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 मी 14 मी वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की उँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कुएँ की त्रिज्या = 3.5 m, कुएँ की गहराई = 20 m

चबूतरे की माप `= 22  m xx 14  m`

निकाली गई मिट्टी का आयतन

`=πr^2h`
`=πxx3.5^2xx20=770 m^3`

चबूतरे के ऊपरी सतह का क्षेत्रफल = चतुर्भुज का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल

`=22xx14-πxx3.5^2`
`=308-38.5=269.5 m^2`

`text(Height) = text(Volume)/(Area)`

`=(770)/(269.5)=2.85 m`

प्रश्न 4: व्यास 3 मी का एक कुआँ 14 मी की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 मी चौड़ी एक वृत्ताकार वलय बनाते हुए समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कुएँ की त्रिज्या = 1.5 m, कुएँ की गहराई = 14 m, बाँध की चौड़ाई = 4 m

बाँध की त्रिज्या `= 4 + 1.5 = 5.5` m

निकाली गई मिट्टी का आयतन

`=πr^2h`
`=πxx1.5^2xx14=31.5π m^3`

चबूतरे की ऊपरी सतह का क्षेत्रफल = (बड़े वृत्त का क्षेत्रफल – छोटे वृत्त का क्षेत्रफल)

`=π(R^2-r^2)`
`=π(5.5^2-1.5^2)=28π`

`text(Height) = text(Volume)/(Area)`

`=(31.5π)/(28π)=1.125 m`