पृष्ठ क्षेत्रफल और आयतन
अभ्यास 13.1
प्रश्न 1: दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 घन सेमी है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: घन की भुजा
`=3_sqrttext(आयतन)`
`=3_sqrt64=4 cm`
घनाभ की लम्बाई = 8 cm, ऊँचाई = 4 cm, चौड़ाई = 4 cm
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल:
`=2(lb+lh+bh)`
`=2(8xx4+8xx4+4xx4)`
`=2xx80=160 cm^2`
प्रश्न 2: कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्धगोले का व्यास 14 सेमी है और इस बर्तन की कुल ऊँचाई 13 सेमी है। इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: त्रिज्या = 7 cm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई `= 13 – 7 = 6` cm
बेलनाकार भाग का वक्र पृष्टीय क्षेत्रफल
`=2πrh`
`=2xx(22)/(7)xx7xx6=264 cm^2`
अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
`=2πrh`
`=2xx(22)/(7)xx7xx7=308 cm^2`
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 308 + 264 = 572` sq cm
प्रश्न 3: एक खिलौना त्रिज्या 3.5 सेमी वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 सेमी है। इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: शंकु की त्रिज्या = 3.5 cm, शंकु की ऊँचाई `= 15.5 – 3.5 = 12` cm
शंकु की तिर्यक उँचाई
`l=sqrt(h^2+r^2)`
`=sqrt(12^2+3.5^2)`
`=sqrt(144+12.25)`
`=sqrt(156.25)=12.5 cm`
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
`=πrl`
`=(22)/(7)xx3.5xx12.5=137.5 cm^2`
अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
`=πr^2`
`=2xx(22)/(7)xx3.5xx3.5=77 cm^2`
इसलिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 137.5 + 77 = 214.5` sq cm
प्रश्न 4: भुजा 7 सेमी वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: अधिकतम व्यास = घन की भुजा = 7 cm
ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल – (अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 6 xx text(भुजा)^2`
`= 6 xx 7 xx 7 = 294` sq cm
अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल
`=πr^2`
`=(22)/(7)xx3.5^2=38.5 cm^2`
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2 xx 38.5 = 77` sq cm
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 294 – 38.5 + 77 = 332.5` sq cm