पृष्ठ क्षेत्रफल और आयतन
अभ्यास 13.4
प्रश्न 1: पानी पीने वाला एक गिलास 14 सेमी ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 सेमी और 2 सेमी हैं। इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिया गया है R = 2, r = 1 cm और h = 14 cm
फ्रस्टम का आयतन
`=1/3\πh(R^2+r^2+Rr)`
`=1/3\ πxx14(2^2+1^2+2)`
`=1/3xx22/7xx14xx7=102(2)/(3)` cm3
प्रश्न 2: एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप 18 सेमी और 6 सेमी हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: तिर्यक ऊँचाई l = 4 cm, परिमाप = 18 cm और 6 cm
त्रिज्या का मान इस तरह निकाला जा सकता है:
`text(Radius)=(text(Perimeter))/(2π)`
या, `R=(18)/(2π)=9/ π`
और, `r=(6)/(2 π)=3/ π`
फ्रस्टम का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
`= π(R+r)l`
`= π((9)/( π)+(3)/( π))=48` cm3
प्रश्न 3: एक तुर्की टोपी शंकु के एक छिन्नक के आकार की है। यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 सेमी है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 सेमी है और टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 सेमी है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: R = 10 cm, r = 4 cm, तिर्यक ऊँचाई = 15 cm
फ्रस्टम का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
`= π(R+r)l`
`= π(10+4)15`
`=(22)/(7)xx14xx15=660` cm2
ऊपरी आधार का क्षेत्रफल
`= πr^2= πxx4^2`
`=16 π=50(2)/(7)`
इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
`=660+50(2)/(7)=710(2)/(7)` cm2
प्रश्न 4: धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 सेमी है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8 सेमी और 20 सेमी हैं। 20 रु प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य 8 रु प्रति 100 वर्ग सेमी की दर से ज्ञात कीजिए।
उत्तर: फ्रस्टम की ऊँचाई = 16 cm, R = 20 cm, r = 8 cm
फ्रस्टम का आयतन
`1/3\ πh(R^2+r^2+Rr)`
`=1/3\ πxx16(20^2+8^2+160)`
`=1/3xx22/7xx16(400+64+160)`
`=1/3xx22/7xx16xx604=10449.92` cm2
दूध का मूल्य @ Rs. 20 प्रति 1000 cubic cm
`10.44992 xx 20 = Rs. 208.99`
तिर्यक ऊँचाई का मान इस तरह निकाला जा सकता है:
`l=sqrt(h^2+(R-r)^2)`
`=sqrt(16^2+(20-8)^2)`
`=sqrt(256+144)=sqrt400=20` cm
फ्रस्टम का पृष्ठीय क्षेत्रफल
`= π(R+r)l+ πr^2`
`= π[(20+8)20+8^2]`
`= π(560+64)=22/7xx624=1959.36` cm2
धातु की चादर का मूल्य @ Rs. 8 per 100 sq cm `= 19.5936 xx 8 = Rs. 156.75`
प्रश्न 5: 20 सेमी ऊँचाई और शीर्ष कोण 60 डिग्री वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचोबीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, जबकि तल शंकु के आधार के समांतर है। यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास `1/16` सेमी वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: फ्रस्टम का आयतन तार के आयतन के बराबर होगा। इस की सहायता से तार की लंबाई पता की जा सकती है।
दी गई आकृति में; AO = 20 cm इसलिए फ्रस्टम की ऊँचाई LO = 10 cm
त्रिभुज AOC में कोण CAO = 300 (शीर्ष कोण BAC का आधा)
इसलिए,
`text(tan)30°=(OC)/(AO)`
Or, `1/sqrt3=(OC)/(20)`
Or, `OC=(20)/(sqrt3)`
त्रिभुज AOC और ALM में समरूपता की शर्तें लागू करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि `LM = (10)/(sqrt3)` (क्योंकि LM शंकु को ऊर्ध्वाधर रूप से समद्विभाजित करता है)
इसी तरह, LO = 10 cm
फ्रस्टम का आयतन:
`V=1/3\πh(r_1^2+r_2^2+r_1\r_2)`
`=1/3\πxx10[((20)/(sqrt3))^2+((10)/(sqrt3))^2+(20)/(sqrt3)xx(10)/(sqrt3)]`
`=1/3\πxx10((400)/(3)+(100)/(3)+(200)/(3))`
`=(7000)/(9)\ π` cm3
बेलन का आयतन:
`=πr^2h`
या, `π(1/32)^2xxh=(7000)/(9)\ π`
या, `h=(7000)/(9)xx1024`
`=796444.44\ cm=7964.4\ m`