त्रिकोणमिति

ऊँचाई और दूरी

अभ्यास 9 Part 3

प्रश्न 8: एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 मी ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस आकृति में; मूर्ति की ऊँचाई AD = 1.6 m है, पेडस्टल की ऊँचाई DB है और C वह बिंदु है जहाँ पर्यवेक्षक खड़ा है।

Δ ABC में;
`text(tan) 60°=(p)/(b)`

या, `sqrt3=(DB+1.6)/(b)`

या, `b=(DB+1.6)/(sqrt3)` --------(1)

Δ DBC में;
`text(tan) 45°=p/b`

या, `1=(DB)/(b)`

या, `b=DB` ----------(2)

समीकरण (1) और (2) से;
`DB=(DB+1.6)/(sqrt3)`

या, `DBsqrt3=DB+1.6`

या, `Dbsqrt3-DB=1.6`

या, `DB(sqrt3-1)=1.6`

या, `DB=(1.6)(sqrt3-1)`

`=(1.6)/(sqrt3-1)xx(sqrt3+1)/(sqrt3+1)`

`=(1.6)/(3-1)xx(sqrt3+1)`

`=0.8(sqrt3+1) m`

प्रश्न 9: एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मी ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस आकृति में; DC = 50 m, ∠ACB = 30° और ∠ DBC = 60°; अब हमें AB का मान निकालना है।

Δ DCB में;
`text(tan) 60°=p/b`

या, `sqrt3=(50)/(b)`

या, `b=(50)/(sqrt3)`

Δ ABC में;
`text(tan) 30°=p/b`

या, `(1)/(sqrt3)=(AB)/((50)/(sqrt3))`

या, `AB=(50)/(sqrt3xxsqrt3)=16(2)/(3) m`

प्रश्न 10: एक 80 मी चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस आकृति में; BD = 80 m, ∠ACB = 30°, ∠ ECD = 60° और AB = ED = ?

Δ ABC में;

`text(tan) 30°=p/b`

या, `(1)/(sqrt3)=(AB)/(BC)`

या, `AB=(BC)/(sqrt3)` -------- (1)

`text(tan) 60°=p/b=(EC)/(CD)`

या, `sqrt3=(ED)/(80-BC)`

या, `ED=sqrt3(80-BC)` --------- (2)

चूँकि AB = ED

इसलिए, समीकरण (1) और (2) से;

Δ EDC में;
`(BC)/(sqrt3)=sqrt3(80-BC)`

या, `BC=3(80-BC)`
या, `BC=240-3BC`
या, `4BC=240`
या, `BC=60 m`

समीकरण (1) में BC का मान रखने पर:

`AB=(60)/(sqrt3)=20sqrt3 m`

इसलिए, BC = 60 m और CD = 20 m