गति के समीकरण

दूरी समय ग्राफ

ग्राफ की मदद से किसी भी विषय को अधिक आसानी से समझा जा सकता है। दूरि समय ग्राफ की मदद से हम गति से संबंधित कई बातें आसानी से समझ सकते हैं। दिए गए ग्राफ में x अक्ष पर समय और y अक्ष पर दूरी को दिखाया गया है।

इस ग्राफ में किसी वस्तु की एक समान चाल को दिखाया गया है। इस ग्राफ से हम वस्तु की चाल पता कर सकते हैं। इसके लिए बिंदु A और B के बीच तय की गई दूरी BC को लेते हैं। समय t₁ पर वस्तु A बिंदु पर है और समय t₂ पर वस्तु B बिंदु पर है। इसलिए वस्तु की चाल इस तरह से व्यक्त की जा सकती है।

`v=(s_2-s_1)/(t_2-t_1)`

वेग-समय ग्राफ

इस ग्राफ में एक समान वेग से चल रही वस्तु के वेग और समय को दिखाया गया है। यह वस्तु 40 किमी प्रति घंटा की दर से गति कर रही है।

समय t₁ पर वस्तु का वेग बिंदु A से दिखाया गया है, और समय t₂ पर वस्तु का वेग बिंदु B से दिखाया गया है। समय t₁ और t₂ के बीच वस्तु द्वारा तय की गई दूरी जानने के लिए हमें चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल पता करना होगा।

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

= AC × AB

= 40 × (t₂ - t₁)

= 40 × (12 – 6) = 40 × 6 = 240 km

ग्राफीय विधि से गति के समीकरण

जब कोई वस्तु एकसमान गति से चल रही है तो उसकी वेग, त्वरण और तय की गई दूरी के बीच के संबंध को कई समीकरणों द्वारा दिखाया जा सकता है। इन्हें गति के समीकरण कहते हैं और ये इस प्रकार हैं।

`v=u+at`

`s=ut+1/2at^2`

`2as=v^2-u^2`

यहाँ पर u प्रारंभिक गति है, v अंतिम गति है, a त्वरण है, t समय है और s दूरी है।

त्वरण के लिए समीकरण

दिए गए ग्राफ में एक समान त्वरण से चलने वाली वस्तु के समय और गति को दिखाया गया है। प्रारंभिक गति u को बिंदु D से, अंतिम गति v को बिंदु C और B से और कुल समय t को बिंदु A और E से दिखाया गया है।

इस ग्राफ से यह पता चलता है कि

BE = AB + AE = CD + OD

यहाँ BE = v और OD = u रखने पर

हम पाते हैं, v = CD + u

या, CD = v – u

अब त्वरण का मान इस तरह निकाला जा सकता है

त्वरण = वेग में परिवर्तण ÷ कुल समय

`=(CD)/(AD)=(CD)/(OE)`

या, `a=(v-u)/t`

या, `at=v-u` …………(1)

या, `v=u+at`

दूरी के लिए समीकरण

दूरी का मान त्रिभुज ABD और चतुर्भुज ADOE के क्षेत्रफल के योग के बराबर होगा।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

`=1/2xx\AB\xx\AD`

चतुर्भुज का क्षेत्रफल = लम्बाई × ऊँचाई

`=AD\xx\OD`

`=u\xx\t`

या, `s=ut+1/2xx\(v-u)xx\t`

समीकरण (1) में से v का मान इस समीकरण में रखने पर

`s=ut+1/2xx(u+at-u)xx\t`

या, `s=ut+1/2at^2`……………….(2)

तीसरा समीकरण: वस्तु द्वारा तय की गई दूरी के लिए हम समलंब ODBE का क्षेत्रफल भी निकाल सकते हैं।

समलंब का क्षेत्रफल = ½ × ऊँचाई × (समांतर भुजाओं का योग)

`=1/2xx\OE\xx(BE+OD)`

या, `s=1/2xx\t(u+v)` ………….(3)

समीकरण (1) के अनुसार,

`v=u+at`

या, `at=v-u`

या, `t=(v-u)/a`

अब के इस मान को समीकरण (3) में रखने पर:

`s=1/2xx\(v-u)/a(v+u)`

या, `s=1/2xx(v^2-u^2)/a`

या, `2as=v^2-u^2` …………………(4)

एकसमान वृत्तीय गति: जब कोई वस्तु किसी वृत्तीय रास्ते पर एकसमान चाल से चलती है तो उसकी गति को एक समान वृत्तीय गति कहते हैं। वृत्तीय गति करने वाली वस्तु का त्वरण हमेशा असमान होता है। यदि वृत्तीय पथ की त्रिज्या r है और उस पथ का एक चक्कर लगाने में वस्तु को t सेकंड का समय लगता है तो वस्तु का वेग इस प्रकार होता है:

`v=(2πr)/t`