वृत्त

अभ्यास 10.2 Part 4

प्रश्न 12: 4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाईयाँ क्रमश: 8 सेमी और 6 सेमी हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है; CD = 6 cm और DB = 8 cm और हमें AC और AB का मान पता करना है।

इसके लिए हमें त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल निकालना होगा (हेरॉन फॉर्मूला द्वारा) और उस क्षेत्रफल की तुलना त्रिभुज AOB, COD और COA के क्षेत्रफल के योग से करनी होगी। इससे हमें AE और AF का मान पता करने में मदद मिलेगी।

`CD = CE = 6` cm

`DB = BF = 8` cm

`AE = AF = x`

(ये सभी क्रमश: बिंदु C, B और A से स्पर्श रेखाएँ हैं।)

परिमिति `2S = AB + AC + BC = x + 8 + x + 6 + 14 = 2x + 28`

या, `S = x + 14`

`s- a = x + 14 – x – 8 = 6`

`s – b = x + 14 – x – 6 = 8`

`s – c = x + 14 – 14 = x`

हेरॉन फॉर्मूला के अनुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल

`=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt((x+14)xx6xx8xxtext(x))`

`=sqrt(48x(x+14))`

या, Area² `=48x(x+14)`
`=48x^2+672x` -------(1)

अब निम्नलिखित त्रिभुजों के क्षेत्रफल इस तरह निकाले जा सकते हैं:

त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल `= ½ xx AB xx OF`

= `½ xx (x + 8) 4 = 2x + 16`

त्रिभुज AOC का क्षेत्रफल `= ½ xx AC xx OF`

`= ½ xx (x + 6) 4 = 2xx + 12`

त्रिभुज COB का क्षेत्रफल `= ½ xx BC xx OF`

`= ½ xx 14 xx 4 = 28`

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल (∆AOB) + क्षेत्रफल (∆AOC) + क्षेत्रफल (∆COB)

`= 2x + 16 + 2x + 12 + 28`

`= 4x + 56`

या, क्षेत्रफल² `= (4x + 56)^2`

`= 16x^2 + 448x + 3136` ……. (2)

समीकरण (1) और (2) से,

`16x^2 + 448x + 3136 = 48x^2 + 672x`

या, `16x^2 + 448x + 3136 - 48x^2 - 672x = 0`

या, `- 32 x^2 – 224x + 3136 = 0`

या, `x^2 + 7x – 98 = 0`

या, `x^2 + 14x – 7x – 98 = 0`

या, `x(x + 14) – 7(x + 14) = 0`

या, `(x + 14)(x – 7) = 0`

इसलिए, `x = - 14` and `x = 7`

ऋणात्मक मान को हटाने पर; `AE = 7` cm.

इसलिए; `AB = 7 + 8 = 15` cm

और `AC = 7 + 6 = 13` cm

प्रश्न 13: सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

उत्तर: संरचना: एक वृत्त खींचिए जिसका केंद्र O है। एक चतुर्भुज ABCD खींचिए जो वृत्त को चार बिंदुओं पर स्पर्श करता हो।

सिद्ध करना है: ∠AOB + ∠DOC = 180°

Δ AOS और ΔAOP में

`AS = AP` (बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ)

`AO = AO` (सन्निपाती भुजा)

`OS = OP` (त्रिज्या)

इसलिए; Δ AOS ≅ ΔAOP`

इसलिए; `∠1 = ∠8`

इसी तरह से निम्नलिखित को भी सिद्ध किया जा सकता है:

`∠2 = ∠3`

`∠4 = ∠5`

`∠6 = ∠7`

अब;

`∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°`

या, `(∠1 + ∠8) + (∠2 + ∠3) + (∠4 + ∠5) + (∠6 + ∠7) = 360°`

या, `2(∠1) + 2(∠2) + 2(∠5) + 2(∠6) = 360°`

या, `∠1 + ∠2 + ∠5 + ∠6 = 180°`

या, `(∠1 + ∠2) + (∠5 + ∠6) = 180°`

या, `∠AOB + ∠DOC = 180°` सिद्ध हुआ

इसी तरह से, `∠AOD + ∠BOC` को भी सिद्ध किया जा सकता है।