दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म

NCERT अभ्यास 3.4 Part 1

प्रश्न 1: निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है?

(a) `x + y = 5` and `2x – 3y = 4`

उत्तर: विलोपन विधि

पहले समीकरण को 3 से गुना करो:
`3x – 3y = 15`

अब इस समीकरण में दूसरे समीकरण को जोड़ो।

`3x+3y+2x-3y=15+4`

या, `5x=19`

या,`x=(19)/(5)`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;

`x+y=5`

या, `(19)/(5)+y=5`

या, `y=5-(19)/(5)`

`=(25-19)/(5)=6/5`

इसलिए, `x=(19)/(5)` और `y=6/5`

प्रतिस्थापन विधि:

पहले समीकरण का उपयोग करते हुए एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में रखने पर;
`x + y = 5`
या, `x = 5 – y`

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;
`2(5 – y) – 3y = 4`
या, `10 – 2y – 3y = 4`
या, `5y = 10 – 4 = 6`
या, `y = 6/5`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;

`x+y=5`

या, `x+6/5=5`

या, `x=5-6/5`

`=(25-6)/(5)=(19)/(5)`

इसलिए, `x=(19)/(5)` और `y=6/5`

(b) `3x + 4y = 10` and `2x – 2y = 2`

उत्तर: विलोपन विधि:

दूसरे समीकरण को 2 से गुना करने पर;
`4x – 4y = 4`

इस समीकरण को पहले समीकरण से जोड़ने पर;
`4x – 4y + 3x + 4y = 4 + 10`
या, `7x = 14`
या, `x = 2`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;
`3x + 4y = 10`
या, `3 xx 2 + 4y = 10`
या, `6 + 4y = 10`
या, `4y = 10 – 6 = 4`
या, `y = 1`
इसलिए, `x = 2` और `y = 1`

प्रतिस्थापन विधि:

दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में रखने पर;
`2x – 2y = 2`
या, `2x = 2y + 2`
या, `x = y + 1`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;
`3x + 4y = 10`
या, `3(y + 1) + 4y = 10`
या, `3y + 3 + 4y = 10`
या, `7y + 3 = 10`
या, `7y = 10 – 3 = 7`
या, `y = 1`

दूसरे समीकरण में y का मान रखने पर;
`x = y + 1`
या, `x = 1 + 1 = 2`
इसलिए, `x = 2` और `y = 1`

उत्तर: विलोपन विधि

पहले समीकरण को 3 से गुना करने पर
`9x – 15y = 12`

इस समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर;
`(9x – 15y) – (9x – 2y) = 12 – 7`
या, `9x – 15y – 9x + 2y = 5`
या, `- 13y = 5`
या, `y - (- 5)/(13)`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;

`3x-5y=4`

या, `3x+5xx(5)/(13)=4`

या, `3x+(25)/(13)=4`

या, `3x=4-(25)/(13)`

`=(52-25)/(13)=(27)/(13)`

या, `x=(27)/(13xx3)=(9)/(13)`

इसलिए, `x=(9)/(13)` और `y=-(5)/(13)`

प्रतिस्थापन विधि:

पहले समीकरण का उपयोग करते हुए एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में रखने पर;

`3x-5y=4`

या, `3x=5y+4`

या, `x=(5y+4)/(3)`

`9x-2y=7`

या, `9((5y+4)/(3))-2y=4`

या, `15y+12-2y=7`

या, `13y+12=7`

या, `13y=7-12=-5`

या, `y=-(5)/(13)`

पहले समीकरण में y का मान अखने पर

`x=(5y+4)/(3)`

या, `x=(5xx-(5)/(13)+4)/(3)`

`=(-(25)/(13)+4)/(3)`

`=((-25+52)/(13))/(3)=(27)/(39)=(9)/(13)`

इसलिए, `x=(9)/(13)` और `y=-(5)/(13)`

(d) `x/2+(2y)/(3)=-1` और `x-y/3=3`

उत्तर: विलोपन विधि;
समीकरण 1:

`x/2+(2y)/(3)=-1`

या, `(3x+4y)/(6)=-1`

या, `3x+4y=-6`

समीकरण 2:

`x-y/3=3`

या, `(3x-y)/(3)=3`

या, `3x-y=9`

पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर;

`3x+4y-(3x-y)=-6-9`

या, `3x+4y-3x+y=-15`

या, `5y=-15`

या, `y=-3`

दूसरे समीकरण में y का मान रखने पर;
`3x – y = 9`
या, `3x + 3 = 9`
या, `3x = 9 – 3 = 6`
या, `x = 2`
इसलिए, `x = 2` और `y = - 3`

प्रतिस्थापन विधि;

दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में रखने पर;
`3x – y = 9`
या, `y = 3x – 9`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;
`3x + 4y = - 6`
या, `3x + 4(3x – 9) = - 6`
या, `3x + 12x – 36 = - 6`
या, `15x – 36 = - 6`
या, `15x = - 6 + 36 = 30`
या, `x = 2`

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;
`y = 3x – 9`
या, `y = 3 x 2 – 9`
`= 6 – 9 = - 3`
इसलिए, `x = 2` और `y = - 3`