समांतर श्रेढ़ी
अभ्यास 5.2 Part 2
प्रश्न 6: क्या A. P.: 11, 8, 5, 2, …. का एक पद -150 है? क्यों?
उत्तर: दिया गया है, a = 11, d = 8 – 11 = - 3, an = - 150, n = ?
हम जानते हैं; `a_n = a + (n – 1)d`
या, `- 150 = 11 + (n – 1)(- 3)`
या, `(n – 1)(-3) = - 150 – 11 = - 161`
या, `n – 1 = (161)/3`
यह साफ है कि 161 को 3 से विभाजित करने पर पूर्णांक नहीं मिल सकता है। लेकिन किसी भी टर्म की संख्या पूर्णांक में ही होगी। इसलिए, -150 दिये गये AP का टर्म नहीं है।
प्रश्न 7: उस A. P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
उत्तर: दिया गया है, a11 = 38 और a16 = 73
हम जानते हैं; `a_n = a + (n – 1)d`
इसलिए, `a_(11) = a + 10d = 38`
और, `a_(16) = a + 15d = 73`
11वें टर्म को 16वें टर्म से घटाने पर;
`a + 15d – a – 10d = 73 – 38`
या, `5d = 35`
या, `d = 7`
अब, d के मान को 11वें टर्म में रखने पर;
`a + 10 xx 7 = 38`
या, `a + 70 = 38`
या, `a = 38 – 70 = - 32`
अब, 31वें टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`a_(31) = a + 30d`
`= - 32 + 30 xx 7`
`= - 32 + 210 = 178`
प्रश्न 8: एक A. P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिया गया है, a3 = 12 और a50 = 106
`a_3 = a + 2d = 12`
`a_(50) = a + 49d = 106`
अब, 50वें टर्म से तीसरे टर्म को घटाने पर;
`a + 49d – a – 2d = 106 – 12`
या, `47d = 94`
या, `d = 2`
अब, 12वें टर्म में d का मान रखने पर;
`a + 2 xx 2 = 12`
या, `a + 4 = 12`
या, `a = 8`
अब, 29वें टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a_(29) = a + 28d`
`= 8 + 28 xx 2`
`= 8 + 56 = 64`
प्रश्न 9: यदि किसी A. P. के तीसरे पद और नौवें पद क्रमश: 4 और -8 हैं, तो इसका कौन सा पद शून्य होगा?
उत्तर: दिया गया है, a3 = 4 और a9 = - 8
`a_3 = a + 2d = 4`
`a_9 = a + 8d = - 8`
अब, 9वें टर्म से तीसरे टर्म को घटाने पर;
`a + 8d – a – 2d = - 8 – 4 = - 12`
या, `6d = - 12`
या, `d = - 2`
अब, d का मान तीसरे टर्म में रखने पर;
`a + 2(-2) = 4`
या, `a – 4 = 4`
या, `a = 8`
अब; `0 = a + (n – 1)d`
या, `0 = 8 + (n – 1)(- 2)`
या, `(n – 1)(- 2) = - 8`
या, `n – 1 = 4`
या, `n = 5`
इसलिए, इस AP का पाँचवा टर्म जीरो है।
प्रश्न 10: किसी A. P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
उत्तर: इस AP के 10वें और 17वें टर्म को निम्न तरीके से लिखा जा सकता है;
`a_(10) = a + 9d`
`a_(17) = a + 16d`
अब, 17वें टर्म से 10वें टर्म को घटाने पर;
`a + 16d – a – 9d = 7`
या, `7d = 7`
या, `d = 1`
प्रश्न 11: A. P.: 3, 15, 27, 39, … का कौन सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
उत्तर: दिया गया है, a = 3, d = 15 – 3 = 12
54वें टर्म को इस तरह से लिखा जा सकता है;
`a_(54) = a + 53d`
`= 3 + 53 xx 12`
`= 3 + 636 = 639`
इसलिए, अभीष्ट टर्म `= 639 + 132 = 771`
या, `771 = a + (n – 1)d`
या, `771 = 3 + (n -1)12`
या, `(n – 1)12 = 771 – 3 = 768`
या, `n – 1 = 64`
या, `n = 65`
प्रश्न 12: दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?
उत्तर: दोनों AP का सार्व अंतर समान है। इसलिए, दोनों AP के हर संगत टर्म का अंतर 100 होगा।
प्रश्न 13: तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
उत्तर: तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या = 100
जब 100 को 7 से भाग दिया जाता है तो शेष 2 मिलता है।
अब, `7 – 2 = 5`
इसलिए; `100 + 5 = 105` तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या होगी जो 7 से भाज्य होती है।
अब, तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 999
जब 999 को 7 से भाग दिया जाता है तो शेष 5 मिलता है।
अब, `999 – 5 = 994`
यह तीन अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या है तो 7 से भाज्य है।
इसलिए, अब हमारे पास निम्नलिखित जानकारी है;
पहला टर्म (a) = 105,
अंतिम टर्म `a_n = 994`
सार्व अंतर = 7
हम जानते हैं, `a_n = a + (n – 1)d`
या, `994 = 105 + (n – 1)7`
या, `(n – 1)7 = 994 – 105 = 889`
या, `n – 1 = 127`
या, `n = 128`
इसलिए, तीन अंकों की 7 से भाज्य संख्याओं का नम्बर = 128
प्रश्न 14: 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
उत्तर: 10 से बड़ी और 4 से भाज्य होने वाली सबसे छोटी संख्या = 12
जब 250 को 4 से विभाजित किया जाता है तो शेष 2 मिलता है।
इसलिए, इस सीरीज में 4 से विभाजित होने वाली सबसे बड़ी संख्या `= 250 – 2 = 248`
अब हमारे पास निम्नलिखित जानकारी है;
पहला टर्म (a) = 12,
अंतिम टर्म (n) = 248
सार्व अंतर(d) = 4
हम जानते हैं, `a_n = a + (n -1)d`
या, `248 = 12 + (n – 1)4`
या, `(n – 1)4 = 248 – 12 = 236`
या, `n – 1 = 59`
या, `n = 60`
इसलिए, 10 और 250 के बीच 4 से भाज्य संख्याओं का नम्बर = 60