समांतर श्रेढ़ी
अभ्यास 5.3 Part 5
प्रश्न 9: यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर: हम जानते हैं;
`S=n/2[2a+(n-1)d]`
या, `7(a + 3d) = 49`
या, `a + 3d = 7`
यह चौथा टर्म है।
इसी प्रकार,
`S_(17) = (17)/2(2a + 16d) = 289`
या, `17(a + 8d) = 289`
या, `a + 8d = 17`
यह 9वाँ टर्म है।
9 वें टर्म से चौथे टर्म को घटाने पर,
`a + 8d – a – 3d = 17 – 7`
या, `5d = 10`
या, `d = 2`
चौथे टर्म के समीकरण में d का मान रखने से a के मान को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:
`a + 3d =7`
या, `a + 6 = 7`
या, `a = 1`
अब a और d के मान का उपयोग करते हुए पहले n टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`S=n/2[2a+(n-1)d]`
`= n/2[2 xx 1 + (n – 1)2]`
`= n(1 + n – 1) = n_2`
इसलिए, इस AP के n टर्म का योग = n2
प्रश्न 10: दर्शाइए कि a1, a2, ….an .. से एक AP बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है।
(a) an = 3 + 4n
उत्तर: यहाँ पर a, के अलग अलग मान को लेते हैं; जैसे 1, 2, 3, आदि।
`a = 3 + 4 = 7`
`a_2 = 3 + 4 xx 2 = 11`
`a_3 = 3 + 4 xx 3 = 15`
`a_4 = 3 + 4 xx 4 = 19`
इस सीरीज के उतरोत्तर टर्म 4 की मात्रा से बढ़ते हैं, इसलिए यह एक AP है।
(b) an = 9 – 5n
साथ ही प्रत्येक स्थिति में प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर: यहाँ पर a, के अलग अलग मान को लेते हैं; जैसे 1, 2, 3, आदि।
`a = 9 – 5 = 4`
`a_2 = 9 – 5 xx 2 = - 1`
`a_3 = 9 – 5 xx 3 = - 6`
`a_4 = 9 – 5 xx 4 = - 11`
इस सीरीज के उतरोत्तर टर्म 5 की मात्रा से बढ़ते हैं, इसलिए यह एक AP है।
प्रश्न 11: यदि किसी AP के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात S1) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर: पहले टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`S_1 = 4 xx 1 – 1^2 = 3`
अब, दो टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`S_2 = 4 xx 2 – 2^2`
`= 8 - 4 = 4`
इसलिए, दूसरा टर्म `= 4 – 3 = 1`
और `d = 1 – 3 = - 2`
इसलिए, तीसरे टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:
`a_3 = a + (n – 1)d`
`= 3 + 2( - 2) = 3 – 4 = - 1`
इसी प्रकार, 10 वें टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`a_(10) = a + 9d`
`= 3 + 9(- 2) = 3 – 18 = - 15`
प्रश्न 12: ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
उत्तर: 6 से विभाजित होने वाला सबसे छोटा धन पूर्णांक 6 है और 6 का 40 वां गुणज `= 6 xx 40 = 240`
इस प्रकार, a = 6, d = 6, n = 40 और 40 वाँ टर्म = 240.
अब, 6 से विभाजित होने वाले पहले 40 धन पूर्णांको के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`S=n/2[2a+(n-1)d]`
`= (40)/2(2 xx 6 + 39 xx 6)`
`= 20(12 + 234) = 20 xx 246 = 4920`
प्रश्न 13: 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिया गया है, a = 8, d = 8 और n = 15
अब, 8 से विभाजित होने वाले पहले 15 धन पूर्णांकों के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`S=n/2[2a+(n-1)d]`
`= (15)/2(2 xx 8 + 14 xx 8)`
`= 15(8 + 56) = 15 xx 64 = 960`
प्रश्न 14: 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर: जीरो से 50 के बीच 25 विषम संख्याएँ हैं। प्रथम n विषम संख्याओं का योग `= n^2= 25^2 = 625`
प्रश्न 15: निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रका है: पहले दिन के लिए 200 रु, दूसरे दिन के लिए 250 रु, तीसरे दिन के लिए 300 रु इत्यादि, अर्थात प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है?
उत्तर: दिया गया है; a = 200, d = 50 और n = 30
30 टर्म के योग का मान निकालकर हम जुर्माने की राशि का पता कर सकते हैं।
`S=n/2[2a+(n-1)d]`
`= (30)/2(2 xx 200 + 29 xx 50)`
`= 15(400 + 1450) = 15 xx 1850 = Rs. 27750`