घातांक और घात

अभ्यास 13.2

प्रश्न 1: घातांकों के नियमों का प्रयोग करते हुए, सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए:

(a) `3^2xx3^4xx3^8`

उत्तर: `a^m\xx\a^n=a^(m+n)`

`3^2xx3^4xx3^8=3^(2+4+8)`

`=3^(14)`

(b) `6^15÷6^10`

उत्तर: `a^m\÷a^n=a^(m-n)`

`6^(15)÷6^(10)=6^(15-10)`

`=6^5`

उत्तर: `a^3xx\a^2``=a^(3+2)=a^5`

(d) `7^x\xx7^2`

उत्तर: `7^x\xx\7^2=7^(x+2)`

(e) `(5^2)^3÷5^3`

उत्तर: `(5^2)^3÷5^3`

`=5^(2+3)÷5^3`

`=5^5÷5^3`

`=5^(5-3)=5^2`

(f) `2^5xx5^5`

उत्तर: `2^5xx5^5=10^5`

(g) `a^4xx\b^4`

उत्तर: `a^4xx\b^4=(ab)^4`

(h) `(3^4)^5`

उत्तर: `(3^4)^5=3^(4xx5)=3^(20)`

(i) `(2^20÷2^15)xx2^3`

उत्तर: `(2^(20)÷2^(15))xx2^3`

`=(2^(20-15))xx2^3`

`=2^5xx2^3=2^(5+3)=2^8`

(j) `8^t÷8^2`

उत्तर: `8^t÷8^2=8^(t-2)`

प्रश्न 2: निम्नलिखित में से प्रत्येक को सरल करके घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:

(a) `(2^3xx3^4xx4)/(3xx32)`

उत्तर: `(2^3xx3^4xx4)/(3xx32)`

`=(2^3xx3^4xx2^2)/(3xx2^5)`

`=2^(3+2-5)xx3^(4-1)=2^0xx3^3`

`=1xx3^3=3^3`

(b) `((5^2)^3xx5^4)÷5^7`

उत्तर: `((5^2)^3xx5^4)÷5^7`

`=5^6xx5^4÷5^7`

`=5^(6+4-7)=5^3`

उत्तर: `25^4÷5^3`

`=(5^2)^4÷5^3`

`=5^8÷5^3`

`=5^(8-3)=5^5`

(d) `(3xx7^2xx11^8)/(21xx11^3)`

उत्तर: `(3xx7^2xx11^8)/(21xx11^3)`

`=(3xx7^2xx11^8)/(3xx7xx11^3)`

`=3^(1-1)xx7^(2-1)xx11^(8-3)`

`=3^0xx7^1xx11^5=7xx11^5`

(e) `(3^7)/(3^4xx3^3)`

उत्तर: `(3^7)/(3^4xx3^3)`

`=(3^7)/(3^(4+3))=(3^7)/(3^7)`

`=3^(7-7)=3^0=1`

(f) `2^0+3^0+4^0`

उत्तर: `2^0+3^0+4^0`

`=1+1+1=3`

(g) `2^0xx3^0xx4^0`

उत्तर: `2^0xx3^0xx4^0`

`=1xx1xx1=1`

(h) `(3^0+2^0)xx5^0`

उत्तर: `(3^0+2^0)xx5^0`

`=(1+1)xx1=2xx1=2`

(i) `(2^8xx\a^5)/(4^3xx\a^3)`

उत्तर: `(2^8xx\a^5)/(4^3xx\a^3)`

`=(2^8xx\a^(5-3))/(2^6)`

`=2^(8-6)xx\a^2=2^2xx\a^2=(2a)^2`

(j) `(a^5xx\a^3)/(a^8)`

उत्तर: `(a^5xx\a^3)/(a^8)`

`=a^(5+3-8)=a^0=1`

(k) `(4^5xx\a^8b^3)/(4^5xx\a^5b^2)`

उत्तर: `(4^5xx\a^8b^3)/(4^5xx\a^5b^2)`

`=(a^8b^3)/(a^5b^2)`

`=a^(8-5)xx\b^(3-2)=a^3xx\b`

(l) `(2^3xx2)^2`

उत्तर: `(2^3xx2)^2`

`=(2^(3+1))^2=(2^4)^2=2^8`

प्रश्न 3: बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य तथा अपने उत्तर का कारण भी दीजिए:

(a) `10xx10^(11)=100^(11)`

उत्तर: LHS = `10xx10^(11)=10^(1+11)=10^12`

RHS = `100^(11)=(10^2)^11=10^22`

FALSE

(b) `2^3>5^2`

उत्तर: LHS = `2^3=8`

RHS = `5^2=25`

FALSE

उत्तर: LHS = `2^3xx3^2=8xx9=72`

RHS = `6^5=7776`

FALSE

(d) `3^0=1000^0`

उत्तर: LHS = `3^0=1`

RHS = `1000^0=1`

TRUE

प्रश्न 4: निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

(a) 108 × 192

उत्तर: `108xx192`

`=2^2xx3^3xx192`

`=2^2xx3^3xx2^6xx3`

`=2^(2+6)xx3^(3+1)=2^8xx3^4`

(b) 270

उत्तर: `270=2xx3^3xx5`

उत्तर: `729xx64`

`=9xx9xx9xx8xx8`

`=3^2xx3^2xx3^2xx2^3xx2^3`

`=3^(2+2+2)xx2(3+3)`

`=3^6xx2^6`

(d) 768

उत्तर: `768=2^8xx3`

प्रश्न 5: सरल कीजिए:

(a) `((2^5)^2xx7^3)/(8^3xx7)`

उत्तर: `((2^5)^2xx7^3)/(8^3xx7)`

`=(2^(10)xx7^3)/(2^9xx7)`

`=2^(10-9)xx7^(3-1)=2^1xx7^2`

`=2xx7^2`

(b) `(25xx5^2xx\t^8)/(10^3xx\t^4)`

उत्तर: `(25xx5^2xx\t^8)/(10^3xx\t^4)`

`=(5^2xx5^2xx\t^8)/(2^3xx5^3xx\t^4)`

`=(5^(4-3))xx\t^(8-4)/(2^3)`

`=(5xx\t^4)/(2^3)`

उत्तर: `(3^5xx10^5xx25)/(5^7xx6^5)`

`=(3^5xx2^5xx5^5xx5^2)/(5^7xx2^5xx3^5)`

`=3^(5-5)xx2^(5-5)xx5^(5+2-7)`

`=3^0xx2^0xx5^0=1xx1xx1=1`