ज्यामितीय संरचनाएँ
अभ्यास 11.2 Part 1
प्रश्न 1: 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केंद्र से 10 सेमी दूर स्थित एक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लंबाइयाँ मापिए।
उत्तर: 6 cm त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाइए जिसका केंद्र O है।
- एक रेखाखंड OP = 10 cm खींचिए।
- OP का एक लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो OP को बिंदु O’ पर काटता हो।
- अब O’P को त्रिज्या लेते हुए एक दूसरा वृत्त बनाइए।
- बिंदु P से दोनों वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
- PQ = PR = 8 cm.
निष्कर्ष: त्रिज्याम स्पर्श रेखा और बाह्य बिंदु (जहाँ से स्पर्श रेखा खींची गई है) से केंद्र की दूरी, ये तीनों मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
`PQ^2 = OP^2 – OQ^2`
`= 10^2 – 6^2`
`= 100 – 36 = 64`
या, `PQ = 8 cm`
प्रश्न 2: 4 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 सेमी त्रिज्या के एक सकेंद्रीय वृत्त के किसी बिंदु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लंबाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
उत्तर:4 cm और 6 cm त्रिज्या वाले दो सकेंद्रीय वृत्त खींचिए।
- बड़े वृत्त की त्रिज्या OP खींचिए।
- OP का एक लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो OP को बिंदु O’ पर काटता है।
- अब O’P को त्रिज्या लेते हुए एक वृत्त बनाइए।
- बिंदु P से स्पर्श रेखाएँ PQ और PR खींचिए।
निष्कर्ष: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
`PQ^2 = OP^2 – OQ^2`
`= 6^2 – 4^2`
`= 36 – 16 = 20`
या, `PQ = 2sqrt5 cm`
प्रश्न 3: 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केंद्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिंदु P और Q लीजिए। इन दोनों बिंदुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
उत्तर:3 cm वाला एक वृत्त बनाइए।
- व्यास को दोनों तरफ A और B तक बढ़ाइए।
- OA और OB के लम्ब समद्विभाजक खींचिए।
- OA का लम्ब समद्विभाजक इसे बिंदु O’ पर काटता है।
- OB का लम्ब समद्विभाजक इसे बिंदु O” पर काटता है।
- O’A को त्रिज्या मानते हुए एक दूसरा वृत्त बनाइए।
- O”B को त्रिज्या मानते हुए एक तीसरा वृत्त बनाइए।
- बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ AP और AQ खींचिए।
- बिंदु B से स्पर्श रेखाएँ BR और BS खींचिए।