दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म

NCERT अभ्यास 3.5 Part 2

प्रश्न 2 (1): a और b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?

`2x + 3y = 7` and `(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2`

उत्तर: a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = - 7
a₂ = (a – b), b₂ = (a + b), c₂ = - (3a + b – 2)

अपरिमित रूप से अनेक हल के लिये समीकरण को निम्न शर्त पूरी करनी होगी।

`(a_1)/(a_2)=(b_1)/(b_2)=(c_1)/(c_2)`

या, `(2)/(a-b)=(3)/(a+b)`

`=(-7)/(-(3a+b-2))`

या, `2(a + b) = 3(a – b)`
या, `2a + 2b = 3a – 3b`
या, `2a + 5b = 3a`
या, `a = 5b` …….. (1)

इसी तरह से, `6a + 2b – 4 = 7a – 7b`
या, `6a + 2b – 7a + 7b = 4`
या, `- a + 9b = 4`
या, `a = 9b + 4` …….. (2)

समीकरण (1) और (2) से यह स्पष्ट है कि;
`5b = 9b – 4`
या, `4b = 4`
या, `b = 1`

समीकरण (1) में b का मान रखने पर;
`a = 5b = 5`
इसलिए, `a = 5` और `b = 1`

प्रश्न 2 (2): k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
`3x + y = 1` and `(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1`

उत्तर: a₁ = 3, b₁ = 1, c₁ = 1
a₂ = (2k – 1), b₂ = (k – 1), c₂ = - (2k + 1)

कोई हल नहीं होने के लिये समीकरण को निम्न शर्त पूरी करनी होगी।

`(a_1)/(a_2)=(b_1)/(b_2)≠(c_1)/(c_2)`

या, `(3)/(2k-1)=(1)/(k-1)≠(1)/(2k+1)`

या, `3(k – 1) = 2k – 1`
या, `3k – 3 = 2k – 1`
या, `3k = 2k – 1 + 3`
या, `3k = 2k + 2`
या, `k = 2`

प्रश्न 3: निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्र गुणन विधियों से हल कीजिए। किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं?
`8x + 5y = 9` and `3x + 2y = 4`.

उत्तर: प्रतिस्थापन विधि:

पहले समीकरण का उपयोग करते हुए एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में रखने पर;
`8x + 5y = 9`
या, `8x = 9 – 5y`

या, `x=(9-5y)/(8)`

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;

`3x+2y=4`

या, `3((9-5y)/(8))+2y=4`

या, `(27-15y)/(8)+2y=4`

या, `(27-15y+16y)/(8)=4`

या, `27+y=32`

या, `y=32-27=5`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;

`x=(9-5y)/(8)=(9-5xx5)/(8)`

`=(9-25)/(8)=-(16)/(8)=-2`

इसलिए, `x = - 2` और `y = 5`

वज्र गुणन विधि:
`8x + 5y = 9` और `3x + 2y = 4`
`a_1 = 8`, `b_1 = 5`, `c_1 = - 9`
`a_2 = 3`, `b_2 = 2`, `c_2 = - 4`

वज्र गुणन विधि के अनुसार;

`(x)/(b_1c_2-b_2c_1)``=(y)/(c_1a_2-c_2a_1)``=(1)/(a_1b_2-a_2b_1)`

या, `(x)/((5xx-4)-(2xx-9))`

`=(y)/((-9xx3)-(-4xx8))`

`=(1)/((8xx2)-(3xx5))`

या, `(x)/(-20+18)=(y)/(-27+32)=(1)/(16-15)`

या, `(x)/(-2)=y/5=1`

इसलिए, `x = - 2 और y = 5`