निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास 7.4 Part 2

प्रश्न 4: किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दो शीर्ष ज्ञात कीजिए।

उत्तर: विकर्ण AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु (आपस में काटने का बिंदु) O है। . बिंदु O के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकत है:

`x=(3-1)/(2)=1`

`y=(2+2)/(2)=2`

अब, AC का मान इस तरह निकाला जा सकता है: (वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक दूसरे को समद्विविभाजित करते हैं।

`AC=sqrt((3+1)^2+(2-2)^2)=sqrt16=4`

इसलिए, वर्ग की भुजा = 2√2 (पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार)

`AD=2sqrt2=sqrt((x_1+1)^2+(y_1-2)^2)`

या, `8=(x_1+1)^2+(y_1-2)^2`
`CD=2sqrt2=sqrt((x_1-3)^2+(y_1-2)^2)`

या, `8=(x_1-3)^2+(y_1-2)^2`

इन समीकरणों से यह स्पष्ट है:

`(x_1+1)^2+(y_1-2)^2`
`=(x_1-3)^2+(y_1-2)^2`
या, `(x_1+1)^2=(x_1-3)^2`
या, `x_1^2+2x+1=x_1^2-6x+9`
या, `2x+1=-6x+9`
या, `8x=8`
या, `x=1`

x के मान का इस्तेमाल करते हुए y1 का मान इस तरह निकाला जा सकता है।

`CD=2sqrt2=sqrt((x_1-3)^2+(y_1-2)^2)`

या, `8=(1-3)^2+(y_1-2)^2`
या, `4+(y_1-2)^2=8`
या, `(y_1-2)^2=4`
या, `y_1-2=2`
या, `y_1=4`

इसलिए, D = (1, 4)

O के को-ऑर्डिनेट का इस्तेमाल करते हुए B के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकता है।

हमने पहले पता किया था, O = (1, 2)

बिंदु BD के लिए:

`1=(x+1)/(2)`
या, `x+1=2`
या, `x=1`
या, `2=(y+4)/(2)`
या, `y+4=4`
या, `y=0`

इसलिए, B = (1, 0) और D = (1, 4)

प्रश्न 5: कृष्णानगर के एक सेकंडरी स्कूल के कक्षा दस के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भूखंड दिया गया है। गुलमोहर की पौध को परस्पर 1 मी की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा पर लगाया जाता है। इस भूखंड के अंदर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन है, जैसा कि दी गई आकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।

(a) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: P = (4, 6), Q = (3, 2), R (6, 5)

(b) यदि मूलबिंदु C हो, तो `ΔPQR` के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?

उत्तर: P = (-12, -2), Q = (-13, -6), R = (-10, -3)

उत्तर: यदि मूल बिंदु A है तो त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल:

`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2 (y_3 – y_1) + x_3 (y_1 – y_2))`

`= ½ (4(2 – 5) + 3 (5 – 6) + 6 (6 – 2))`

`= ½ ( - 12 – 3 + 24)`

`= 9/2` वर्ग यूनिट

यदि मूलबिंदु C है तो त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल:

`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2 (y_3 – y_1) + x_3 (y_1 – y_2))`

`= ½ ( -12( - 6 + 3) + - 13 (- 3 + 2) + - 10( - 2 + 6))`

`= ½ ( 36 + 13 – 40)`

`= 9/2` वर्ग यूनिट

दोनों ही स्थितियों में क्षेत्रफल समान रहता है, चाहे मूल बिंदु किसी भी बिंदु को माना जाए।