निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास 7.2 Part 1

प्रश्न 1: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

उत्तर: A = (-1, 7) और B = (4, -3)

इसलिए, `x_1 = -1,  y_1 = 7,  x_2 = 4` और `y_2 = -3`

इसके अलावा; `m_1 = 2` and `m_2 = 3`

मान लीजिए कि बिंदु P पर रेखाखंड का विभाजन हो रहा है।

सेक्शन फॉर्मूला का प्रयोग करते हुए बिंदु P के निर्देशांक इस तरह से पता किये जा सकते हैं:

`x=(m_1x_2+m_2x_1)/(m_1+m_2)`

`=(2xx4+3xx-1)/(5)`

`=(8-3)/(5)=5/5=1`

`y=(m_1y_2+m_2y_1)/(m_1+m_2)`

`=(2xx-3+3xx7)/(5)`

`=(-6+21)/(5)=15/5=3`

इसलिए, P = (1, 3)

प्रश्न 2: बिंदुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है A = (4, -1) और B = (-2, -3)

यहाँ पर; `x_1 = 4`, `y_1 = -1`, `x_2 = -2` और `y_2 = -3`

मान लीजिए कि रेखाखंड AB को बिंदु C और D तीन बराबर भागों में बाँटते हैं ताकि AC = CD = DB

ऐसी स्थिति में बिंदु C द्वारा AB को 1 : 2 अनुपात में और बिंदु D द्वारा AB को 2 : 1 के अनुपात में बाँटा जाता है।

बिंदु C के लिए; `m_1 = 1` और `m_2 = 2`

बिंदु D के लिए; `m_1 = 2` और `m_2 = 1`

बिंदु C के निर्देशांक इस तरह से पता किये जा सकते हैं:

`x=(m_1x_2+m_2x_1)/(m_1+m_2)`

`=(1xx-2+2xx4)/(3)`

`=(-2+8)/(3)=6/3=2`

`y=(m_1y_2+m_2y_1)/(m_1+m_2)`

`=(1xx-3+2xx-1)/(3)`

`=(-3-2)/(3)=-5/3`

बिंदु D के निर्देशांक इस तरह से पता किये जा सकते हैं:

`x=(m_1x_2+m_2x_1)/(m_1+m_2)`

`=(2xx-2+1xx4)/(3)`

`=(-4+4)/(3)=0`

`y=(m_1y_2+m_2y_1)/(m_1+m_2)`

`(2xx-3+1xx-1)/(3)`

`=(-6-1)/(3)=-7/3`

इसलिए; `C = (2,  -5/3)` और `D = (0,  -7/3)`

प्रश्न 3: आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए एक आयताकार मैदान ABCD में चूने से परस्पर 1 मी की दूरि पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 मी की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा की दी गई आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के ¼ भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड़ देती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए?

उत्तर: हरे झंडे के को-ऑर्डिनेट A = (2, 25)

लाल झंडे के को-ऑर्डिनेट B = (8, 20)

दूरी फॉर्मूला का प्रयोग करके AB की लंबाई इस तरह से निकाली जा सकती है:

`AB=sqrt((x_2-x_2)^2+(y_2-y_1)^2)`

`=sqrt((8-2)^2+(20-25)^2)`

`=sqrt(6^2+(-5)^2))`

`=sqrt(36+25)=sqrt61\m`

मध्य बिंदु फॉर्मूले के प्रयोग से नीले झंडे के को-ऑर्डिनेट इस तरह से निकाले जा सकते हैं:

`x=(x_1+x_2)/(2)`

`=(8+2)/(2)=5`

`y=(y_1+y_2)/(2)`

`=(25+20)/(2)=45/2`

इसलिए; `C = (5,  45/2)`