निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास 7.1 Part 6

प्रश्न 9: यदि Q(0, 1) बिंदुओं P(5, -3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है, Q(0, 1), P(5, –3) और R(x, 6) और QP = QR

`QP=sqrt((x_2-x_2)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 0, x₂ = 5, y₁ = 1 और y₂ = -3

इसलिए, `QP=sqrt((5-0)^2+(-3-1)^2)`

या, `=sqrt(5^2+(-4)^2)`

या, `=sqrt(25+16)=sqrt(41)`

`QR= sqrt((x_2-x_2)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 0, x₂ = x, y₁ = ` और y₂ = 6

इसलिए, `QR=sqrt((x-0)^2+(6-1)^2)`

`=sqrt(x^2+5^2)`

`=sqrt(x^2+25)` -----------(1)

अब, चूँकि `QP=QR`

इसलिए, `sqrt(41)=sqrt(x^2+25)`

दोनों तरफ वर्ग करने पर हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

`41=x^2+25`

या, `x^2=41-25=16`

या, `x=sqrt(16)=4`

अब, समीकरण (1) के अनुसार

`QR=sqrt(x^2+25)`

यदि `x=+4`
तब, `QR=sqrt(4^2+25)`

या, `QR=sqrt(16+25)=sqrt(41)`

यदि `x=-4`
तब, `QR=sqrt((-4)^2+25)`

या, `QR=sqrt(16+25)=sqrt(41)`

अब, `PR=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 5, x₂ = x, y₁ = -3 और y₂ = 6

इसलिए, `PR=sqrt((x-5)^2+(6+3)^2)`

जब, `x=+4`
तब, `PR=sqrt((4-5)^2+(6+3)^2)`

`=sqrt((-1)^2+9^2)=sqrt(1+81)`

या, `PR=sqrt(82)`

जब `x=-4`
तब, `PR=sqrt((-4-5)^2+(6+3)^2)`

`=sqrt((-9)^2+9^2)=sqrt(81+81)`

या, `PR=sqrt(162)=9sqrt2`

इसलिए, अभीष्ट उत्तर है `x=±4`, `QR=sqrt(41)`, `PR=sqrt(82) or 9sqrt2`

प्रश्न 10: x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x, y) बिंदुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो।

उत्तर: मान लीजिए कि P(x, y), A (3, 6) और B (– 3, 4)
यहाँ AP = BP

`AP=sqrt((x_2-x_2)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 3, x₂ = x, y₁ = 6 और y₂ = y

इसलिए, `AP=sqrt((x-3)^2+(y-6)^2`

`=sqrt(x^2+9-6x+y^2+36-12y)`

या, `AP=sqrt(x^2+y^2-6x-12y+45)`

और`BP=sqrt((x_2-x_2)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = -3, x₂ = x, y₁ = 4 और y₂ = y

इसलिए, `BP=sqrt((x+3)^2+(y-4)^2))`

`=sqrt(x^2+9+6x+y^2+16-8y)`

या, `BP=sqrt(x^2+y^2+6x-8y+25)`

अब, चूँकि `AP=BP`

इसलिए, `sqrt(x^2+y^2-6x-12y+45)=sqrt(x^2+y^2+6x-8y+25)`

दोनों तरफ वर्ग करने पर हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

`x^2+y^2-6x-12y+45=x^2+y^2+6x-8y+25`
या, `-6x-12y+45=6x-8y+25`
या, `-6x-6x-12y+8y+45-25=0`
या, `-12x-4y+20=0`
या, `-4(3x+y-5)=0`
या, `3x+y-5=0`
या, `3x+y=5`