निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास 7.1 Part 2

प्रश्न 2: बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?

उत्तर: हम जानते हैं कि मूल बिंदु से किसी बिंदु (x, y) की दूरी का फॉर्मूला है

`sqrt(x^2+y^2)`

इसलिए, मान लीजिए `36= x` है और `15= y` ।

इसलिए, `sqrt(x^2+y^2)`

`=sqrt(36^2+15^2)`

`=sqrt(1296+225)`

`=sqrt(1521)=39` यूनिट

एनसीईआरटी की किताब के इस चैप्टर के सेक्शन 7.2 में बताया गया है कि शहर B शहर A से 36 यूनिट पूर्व और 15 यूनिट उत्तर में है। इसलिए शहर A और शहर B के बीच की दूरी = 39 यूनिट। यदि किलोमीटर में मापा जाए तो यह दूरी 39 किमी है।

प्रश्न 3: निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) संरेखी हैं।

उत्तर: मान लीजिए A = (1, 5), B = (2, 3) और C = (-2, -11)

इसलिए AB की लंबाई के लिए दूरी का फॉर्मूला

`sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 1, x₂ = 2, y₁ = 5 और y₂ = 3

इसलिए, `AB = sqrt((2-1)^2+(3-5)^2)`

`=sqrt(1^2+(-2)^2)=sqrt(1+4)`

Or, `AB = sqrt5` यूनिट

अब, BC कि लंबाई के लिए दूरी का फॉर्मूला

`sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 2, x₂ = -2, y₁ = 3 और y₂ = -11

इसलिए, `BC = sqrt((-2-2)^2+(-11-3)^2)`

`=sqrt((-4)^2+(-14)^2)`

`=sqrt(16+196)=sqrt(212)`

`=sqrt(4xx53)=2sqrt(53)` यूनिट

अब AC की लंबाई के लिए दूरी का फॉर्मूला

`sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ, x₁ = 1, x₂ = -2, y₁ = 5 और y₂ = -11

इसलिए, `AC = sqrt((-2-1)^2+(-11-5)^2)`

`=sqrt((-3)^2+(-16)^2)`

`=sqrt(9+256)=sqrt(265)` यूनिट

इन तीनों बिंदुओं को संरेखी होने के लिए नीचे लिखी शर्त का पूरा होना जरूरी है।

`AB + BC = AC`

AB, BC और AC का मान रखने पर

`sqrt5+sqrt(53)≠sqrt(265)`

इसलिए दिए गए बिंदु संरेखी नहीं हैं।

प्रश्न 4: जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

उत्तर: मान लीजिए A = (5, -2), B = (6, 4) और C = (7, -2)

अब `AB =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 5, x₂ = 6, y₁ = -2 और y₂ = 4

इसलिए, `AB = sqrt((6-5)^2+(4+2)^2)`

`=sqrt(1^2+6^2)`

`=sqrt(1+36)=sqrt(37)` यूनिट

अब `BC =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 6, x₂ = 7, y₁ = 4 और y₂ = -2

इसलिए, `BC=sqrt((7-6)^2+(-2-4)^2)`

`=sqrt(1^2+(-6)^2)=sqrt(37)` यूनिट

अब `AC =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 5, x₂ = 7, y₁ = -2 और y₂ = -2

इसलिए, `AC = sqrt((7-5)^2+(-2+2)^2)`

`=sqrt(2^2+0^2)`

`=sqrt4=2` यूनिट

चूँकि दिए गये ΔABC में:
`AB=BC≠AC`

इसलिए दिया गया त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है।