निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास 7.2 Part 2

प्रश्न 4: बिंदुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।

उत्तर: यहाँ पर, `x_1 = -3`, `y_1 = 10`, `x_2 = 6`, `y_2 = -8`, `x_3 = -1` और `y_3 = 6`

मान लीजिए कि बिंदु (-1, 6) रेखाखंड को m1 : m2 के अनुपात में विभाजित करता है।

तब इस बिंदु के x को-ऑर्डिनेट को इस तरह से निकाला जा सकता है:

`-1=(-3m_2+6m_1)/(m_1+m_2)`

या, `-(m_1+m_2)=-3m_2+6m_1`
या, `m_1+m_2=3m_2-6m_1`
या, `7m_1=2m_2`
या, `m_1/m_2=2/7=2:7`

अब इस बिंदु के y को-ऑर्डिनेट को इस तरह से निकाला जा सकता है:

`6=(10m_2-8m_1)/(m_1+m_2)`

या, `6m_1+6m_2=10m_2-8m_1`
या, `14m_1=4m_2`
या, `m_1/m_2=4/14=2:7`

प्रश्न 5: वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A(1, -5) और B(-4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है; `x_1 = 1`, `y_1 = 5`, `x_2 = -4`, `y_2 = 5`

x-अक्ष पर के बिंदु के को-ऑर्डिनेट = (x, 0)

मान लीजिए कि अनुपात = k : 1

`x=(1-4k)/(k+1)`-------(1)

`0=(-5+5k)/(k+1)`

या, `-5+5k=0`
या, `5k=5`
या, `k=1`

इस मान को समीकरण (1) में रखने पर,

`x=(1-4)/(1+1)=-3/2`

अनुपात = (1 : 1)

बिंदु C = (-3/2, 0)

प्रश्न 6: यदि बिंदु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) को इसी क्रम में लेने पर एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है A = (1, 2), B = (4, y), C = (x, 6), D = (3, 5)

AC = BD (समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं)

हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को दो बराबर भागों में विभाजित करते हैं। मान लीजिए कि दो विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु O है। तब बिंदु O के को-ऑर्डिनेट इस तरह से निकाले जा सकते हैं:

विकर्ण AC के लिए;

`O=((1+x)/(2)\, (2+6)/(2))`

`=((1+x)/(2)\, 4)`--------(1)

विकर्ण BD के लिए;

`O=((3+4)/(2)\, (5+y)/(2))`

`=((7)/(2)\, (5+y)/(2))`-------(2)

समीकरण (1) और 2 से;

`(1+x)/(2)=7/2`

या, `1+x=7`
या, `x=6`
`(5+y)/(2)=4`

या, `5+y=8`
या, `y=3`

इसलिए, x = 6, y = 3