निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास 7.2 Part 3

प्रश्न 7: बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।

उत्तर: AB को केंद्र O दो बराबर भागों में बाँटता है और AB = (x, y). इसलिए;

`2=(x+1)/(2)`

या, `x+1=4`
या, `x=3`

इसी तरह से,

`-3=(y+4)/(2)`

या, `y+4=-6`
या, `y=-10`

इसलिए; O = (3, -10)

प्रश्न 8: यदि A और B क्रमश: (-2, -2) और (2, -4) हों तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = 3/7 AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो।

उत्तर:

`AP=3/7\AB`

या, `(AP)/(AB)=3/7`

या, `(AP)/(PB)=3/4`

इसका मतलब है कि बिंदु P द्वारा AB को 3 : 4 के अनुपात में विभाजित किया जाता है। बिंदु P के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह से निकाला जा सकता है:

`x=(4xx(-2)+3xx2)/(7)`

`=(-8+6)/(7)=-2/7`

`y=(4xx(-2)+3xx(-4))/(7)`

`=(-8-12)/(7)=-20/7`

इसलिए, P = (-2/7, -20/7)

प्रश्न 9: बिंदुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि बिंदु Q द्वारा AB को दो बराबर भागों में बाँटा जाता है; जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

बिंदु Q के को-ऑर्डिनेट इस प्रकार निकाले जा सकते हैं:

`x=(2-2)/(2)=0`

`y=(2+8)/(2)=5`

या, `Q=(0,5)`

अब, बिंदु P द्वारा AQ को दो बराबर भागों में बाँटा जाता है।

बिंदु P के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह से निकाला जा सकता है:

`x=(-2+0)/(2)=-1`

`y=(2+5)/(2)=7/2`

या, `P=(-1,\7/2)`

बिंदु R द्वारा QB को दो बराबर भागों में बाँटा जाता है।

बिंदु R के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह से निकाला जा सकता है:

`x=(0+2)/2=1`

`y=(5+8)/(2)=13/2`

या, `R(1,\13/2)`

इसलिए, P = (-1, 7/2), Q = (0, 5) और R = (1, 13/2)

प्रश्न 10: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं।

उत्तर: दिया गया है A = (3, 0), B = (4, 5), C = (-1, 4), D = (-2, -1)

दूरी फॉर्मूले के प्रयोग से विकर्ण AC का मान इस तरह से निकाला जा सकता है:

`AC=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

`=sqrt((-1-3)^2+(4-0)^2)`

`=sqrt((-4)^2+4^2)`

`=sqrt(16+16)=4sqrt2`

इसी तरह से, विकर्ण BD का मान इस तरह से निकाला जा सकता है:

`BD=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

`=sqrt((-2-4)^2+(-1-5)^2)`

`=sqrt((-6)^2+(-6)^2)`

`=sqrt(36+36)=6sqrt2`

अब समचतुर्भुज का क्षेत्रफल इस तरह से निकाला जा सकता है:

`1/2\xxd_1xxd_2`

`=1/2\xx4sqrt2xx6sqrt2=24 sq` unit