परिमेय संख्याएँ

अभ्यास 1.1

प्रश्न 1: उचित गुणधर्मों के उपयोग से निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए

(i) `-2/3xx3/5+5/2-3/5xx1/6`

उत्तर: दिया गया है, `-2/3xx3/5+5/2-3/5xx1/6`

`=-2/3xx3/5-3/5xx1/6+5/2`

(कम्यूटेटिविटी का प्रयोग करने पर)

`=3/5(-2/3-1/6)+5/2`

(डिस्ट्रिब्यूटेटिविटी का प्रयोग करने पर)

`=3/5((-4-1)/(6))+5/2`

`=3/5(-5/6)+5/2`

`=3/5xx(-5)/(6)+5/2`

`=-3/6+5/2=(-3+15)/(6)`

`=(12)/(6)=2`


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(ii) `2/5xx(-3)/(7)-1/6xx3/2+(1)/(14)xx2/5`

उत्तर: दिया गया है, `2/5xx(-3)/(7)-1/6xx3/2+(1)/(14)xx2/5`

कम्यूटेटिविटी या क्रमविनिमेयता का प्रयोग करने पर

`=2/5xx(-3)/(7)+(1)/(14)xx2/5-1/6xx3/2`

डिस्ट्रिब्यूटेटिविटी या वितरकता का प्रयोग करने पर

`=2/5(-3/7+(1)/(14))-1/6xx3/2`

`=2/5((-6+1)/(14))-1/6xx3/2`

`=2/5xx(-5)/(14)-1/6xx3/2`

`=-1/7-1/4`

`=(-4-7)/(28)=-(11)/(28)`

प्रश्न 2: निम्नलिखित में से प्रत्येक के योज्य प्रतिलोम लिखिए

(i) `2/8`

उत्तर: चूँकि, `2/8+(-2/8)=0`

या, `=2/8-2/8=0`

इसलिए `2/8` का योज्य प्रतिलोम है `-2/8`

(ii) `-5/8`

उत्तर: चूँकि, `-5/9+5/9=0`

इसलिए `-5/9` का योज्य प्रतिलोम है `5/9`

(iii) `(-6)/(-5)`

उत्तर: `(-6)/(-5)=6/5`

चूँकि, `6/5+(-6/5)=0`

इसलिए `6/5` का योज्य प्रतिलोम है `-6/5`


(iv) `(2)/(-9)`

उत्तर: चूँकि, `(2)/(-9)+2/9=0`

इसलिए `(2)/(-9)` का योज्य प्रतिलोम है `2/9`

(v) `(19)/(-6)`

उत्तर: चूँकि, `(19)/(-6)+(19)/(6)=0`

इसलिए `(19)/(-6)` का योज्य प्रतिलोम है `(19)/(6)`

प्रश्न 3: निम्नलिखित के लिए सत्यापित कीजिए कि `-(-x)=x`

(i) `x=(11)/(15)`

उत्तर: दिया गया है, `x=(11)/(15)`

`x=(11)/(15)` का योज्य प्रतिलोम `-x=(-11)/(15)` है

इसी तरह `(-11)/(15)` का योज्य प्रतिलोम `(11)/(15)` है

या, `-((-11)/(15))=(11)/(15)`

या, `-(-x)=x` proved

(ii) `x=-(13)/(17)`

उत्तर: दिया गया है, `x=-(13)/(17)`

`x=-(13)/(17)` का योज्य प्रतिलोम (एडिटिव इनवर्स) `-x=(13)/(17)` है

इसी तरह `(13)/(17)` का एडिटिव इनवर्स `-(13)/(17)` है

या, `-(13)/(17)+(13)/(17)=0`

या, `-(-x)=x` proved


प्रश्न 4: निम्नलिखित के लिए गुणनात्मक प्रतिलोम (मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स ज्ञात कीजिए

(i) `-13`

उत्तर: हम जानते हैं कि किसी नम्बर का उल्टा उसका मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स होता है।

इसलिए `-13` का मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स `(1)/(-13)` है

(ii) `(-13)/(19)`

उत्तर: हम जानते हैं कि किसी संख्या का उल्टा उसका मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स होता है।

इसलिए `(-13)/(19)` का मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स `(19)/(-13)` है

(iii) `1/5`

उत्तर: हम जानते हैं कि किसी संख्या का उल्टा उसका मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स होता है।

इसलिए `1/5` का मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स 5 है

(iv) `-5/8xx(-3)/(7)`

उत्तर: दिया गया है, `-5/8xx(-3)/(7)`

`=((-5)xx(-3))/(8xx7)=(15)/(56)`

हम जानते हैं कि किसी संख्या का उल्टा उसका मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स होता है।

इसलिए `(15)/(56)` का मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स `(56)/(15)` है

(v) `-1xx(-2)/(5)`

उत्तर: दिया गया है, `-1xx(-2)/(5)=2/5`

हम जानते हैं कि किसी संख्या का उल्टा उसका मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स होता है।

इसलिए `2/5` का मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स `5/2` है

(vi) `-1`

उत्तर: हम जानते हैं कि किसी संख्या का उल्टा उसका मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स होता है।

इसलिए `-1` का मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स`(1)/(-1)` या `-1` है

दूसरा तरीका:

किसी संख्या और उसके मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स का गुणनफल 1 होता है।

यहाँ, `-1xx-1=1`

इसलिए `-1` का मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स `-1` है

उत्तर 5: निम्नलिखित प्रत्येक में गुणन के अंतर्गत उपयोग किए गए गुणधर्म का नाम लिखिए।

(i) `(-4)/(5)xx1=1xx(-4)/(5)=-4/5`

प्रश्न: यहाँ, 1 मल्टीप्लिकेटिव आइडेंटिटी या गुणनात्मक तत्समता है।.

इसका मतलब है यहाँ पर मल्टीप्लिकेटिव आइडेंटिटी का इस्तेमाल हुआ है।

(ii) `-(13)/(17)xx(-2)/(7)=(-2)/(7)xx(-13)/(17)`

उत्तर: यहाँ पर मल्टीप्लिकेटिव कम्यूटेटिविटी या गुणन के क्रमविनिमेयता का इस्तेमाल हुआ है।

(iii) `(-19)/(29)xx(29)/(-19)=1`

उत्तर: यहाँ पर दी गई संख्याओं का गुणनफल 1 है, इसलिए `(29)/(-19)` संख्या `(-19)/(29)` का गुणन व्युत्क्रम या मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स है।

इसका मतलब है कि यहाँ पर मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स का इस्तेमाल हुआ है।



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