चतुर्भुज
NCERT अभ्यास 3.1
प्रश्न 1: यहाँ पर कुछ आकृतियाँ दी गई हैं
प्रत्येक का वर्गीकरण निम्नलिखित आधार पर कीजिए
(a) साधारण वक्र, (b) साधारण बंद वक्र, (c) बहुभुज, (d) उत्तल बहुभुज, (e) अवतल बहुभुज
उत्तर:
(a) साधारण वक्र: 1, 2, 5, 6, 7
(b) साधारण बंद वक्र: 1, 2, 5, 6, 7
(c) बहुभुज: 1, 2
(d) उत्तल बहुभुज: 2
(e) अवतल बहुभुज: 1
प्रश्न 2: निम्नलिखित प्रत्येक में कितने विकर्ण हैं?
(a) एक उत्तल चतुर्भुज, (b) एक समषडभुज, (c) एक त्रिभुज
उत्तर: (a) दो, (b) 9, (c) 0 (जीरो)
प्रश्न 3: उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों का योगफल क्या है? यदि चतुर्भुज उत्तल न हो तो क्या यह गुण लागू होगा?
उत्तर: उत्तल चतुर्भुज के कोणों का योगफल `= (4 – 2) xx 180⁰ = 2 xx 180⁰ = 360⁰`
जो चतुर्भुज उत्तल नहीं होता है उसकी भी चार भुजाएँ होती हैं। इसलिए अवतल चतुर्भुज के कोणों का योगफल भी 360 ही होगा।
प्रशन 4: एक बहुभुज के कोणों के योग के बारे में आप क्या कह सकते हैं जिसकी भुजाओं को संख्या निम्नलिखित हो? 7, 8, 10, n
उत्तर : बहुभुज के भुजाओं की संख्या = 7
7 भुजाओं वाले बहुभुज के कोणों का योग `= (7 – 2) xx 180⁰ = 5 xx 180⁰ = 900⁰`
(b) 8
उत्तर : बहुभुज के भुजाओं की संख्या = 8
8 भुजाओं वाले बहुभुज के कोणों का योग `= (8 – 2) xx 180⁰ = 6 xx 180⁰ = 1080⁰`
(c) 10
उत्तर : बहुभुज के भुजाओं की संख्या = 10
10 भुजाओं वाले बहुभुज के कोणों का योग `= (10 – 2) xx 180⁰ = 8 xx 180⁰ = 1440⁰`
(d) n
उत्तर : बहुभुज के भुजाओं की संख्या = n
n भुजाओं वाले बहुभुज के कोणों का योग `= (n – 2) xx 180⁰ = (n – 2)180⁰`
प्रश्न 5: सम बहुभुज क्या है?
उत्तर: जिस बहुभुज में सभी भुजाएँ बराबर हों और हर कोण की माप समान हो उसे सम बहुभुज कहते हैं।
एक सम बहुभुज का नाम बताइए जिसमें
(i) 3 भुजाएँ, (ii) 4 भुजाएँ, (iii) 6 भुजाएँ हों
उत्तर : (i) समबाहु त्रिभुज
(ii) वर्ग
(iii) समषड्भुज
प्रश्न 6: निम्नलिखित आकृतियों में (कोण की माप) ज्ञात कीजिए
प्रश्न 6 (a)
उत्तर: हम जानते हैं कि चतुर्भुज के कोणों का योग = 360⁰
इसलिए, `50° + 130° + 120°+ x = 360°`
या, `300°+ x = 360°`
या, `x = 360°- 300°= 60°`
प्रश्न 6 (b)
उत्तर: हम जानते हैं कि चतुर्भुज के कोणों का योग = 360⁰
या, `90° + 60°+ 70°+ x = 360°`
या, `220° + x = 360°`
या, `x = 360°- 220°= 140°`
प्रश्न 6 (c)
उत्तर: हम जानते हैं कि पंचभुज के कोणों का योग = 540o
इसलिए, `110° + 120° + 30° + x + x = 540°`
या, `260° + 2x = 540°`
या, `2x = 540° - 260° = 280°`
या, `x = 280°÷2 = 140°`
प्रश्न 6 (d)
उत्तर: पंचभुज के कोणों का योग `= (5 – 2) xx 180⁰ = 3 xx 180⁰ = 540⁰`
यह एक समपंचभुज है इसलिए इसके सभी कोण समान होंगे
या, `x + x + x + x + x = 540°`
या, `5x = 540°`
या, `x = 540°÷5 = 108°`
प्रश्न 7:
(a) `x+y+z=?`
उत्तर: त्रिभुज के कोणों का योग = 180⁰
इसलिए, `30⁰ + 90⁰ + C = 180⁰`
या, `120⁰ + C = 180⁰`
या, `C = 180⁰ – 120⁰`
या, `C = 60⁰`
अब, `y = 180° - C`
या, `y = 180° - 60° = 120°`
इसी तरह, `z = 180°- 30° = 150°`
इसी तरह, `x = 180° - 90° = 90°`
इसलिए, `x + y + z = 90° + 120° + 150°= 360°`
दूसरा तरीका: बहुभुज के बाहरी कोणों का योग = 360⁰
इसलिए, `x + y + z = 180°`
(b) `x+y+z+w=?`
उत्तर: चतुर्भुज के कोणों का योग = 360⁰
यानि, `A + 60° + 80° + 120° = 360°`
या, `A + 260° = 360°`
या, `A = 360° - 260° = 100°`
इसलिए, `w = 180° - 100° = 80°`
इसी तरह, `x = 180° - 120° = 60°`
इसी तरह, `y = 180° - 80° = 100°`
इसी तरह, `z = 180° - 60° = 120°`
इसलिए, `x + y + z + w = 60° + 100° + 120° + 80° = 360°`
दूसरा तरीका: बहुभुज के बाहरी कोणों का योग = 360⁰
इसलिए, `x + y + z + w = 360°`