वर्ग और वर्गमूल
NCERT अभ्यास 6.1
प्रश्न 1: निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?
(a) 81
उत्तर: 1
क्योंकि 1 का वर्ग करने पर इकाई का अंक 1 होता है।
(b) 272
उत्तर: 4
क्योंकि 2 का वर्ग करने पर इकाई का अंक 4 होता है।
(c) 799
उत्तर: 1
क्योंकि 9 का वर्ग करने पर इकाई का अंक 1 होता है।
(d) 3853
उत्तर: 9
क्योंकि 3 का वर्ग करने पर इकाई का अंक 9 होता है।
(e) 1234
उत्तर: 6
क्योंकि 4 का वर्ग करने पर इकाई का अंक 6 होता है।
(f) 26387
उत्तर: 9
क्योंकि 7 का वर्ग करने पर इकाई का अंक 9 होता है।
(g) 52698
उत्तर: 4
क्योंकि 8 का वर्ग करने पर इकाई का अंक 4 होता है।
(h) 99880
उत्तर: 0
क्योंकि जीरो का वर्ग करने पर इकाई का अंक जीरो होता है।
(i) 12796
उत्तर: 6
क्योंकि 6 का वर्ग करने पर इकाई का अंक 6 होता है।
(j) 55555
उत्तर: 5
क्योंकि 5 का वर्ग करने पर इकाई का अंक 5 होता है।
प्रश्न 2: निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, इसका कारण दीजिए
(i) 1057 (ii) 23453 (iii) 7928 (iv) 222222 (v) 64000 (vi) 89722 (vii) 222000 (viii) 505050
उत्तर: (i), (ii), (iii), (iv), (vi) में इकाई का 0, 1, 4, 5, 6, या 9 में से कोई नहीं है, इसलिए ये संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
(v), (vii) और (viii) के अंत में शून्य की संख्या सम नहीं है, इसलिए ये संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
प्रश्न 3: निम्नलिखित संख्याओं में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा?
(i) 431 (ii) 2826 (iii) 7779 (iv) 82004
उत्तर: (i) और (ii), क्योंकि विषम संख्या के वर्ग का इकाई का अंक विषम ही होता है।
प्रश्न 4: निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए
112 = 121
1012 = 10201
10012 = 1002001
1000012 =..........
100000012 = .......
उत्तर: 1000012 = 10000200001
100000012 = 100000020000001
कारण: इसे लिखने के लिए 1 से शुरु करें। उसके बाद पहली और आखिरी संख्या के बीच जितने जीरो हैं उतने जीरो लिखकर दो लिखिए। फिर जीरो की संख्या दोहराने के बाद 1 लिखिए।
प्रश्न 5: निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए
112 = 121
1012 = 10201
101012 = 102030201
10101012 = ...........
2 = 10203040504030201
उत्तर: 10101012 = 1020304030201
1010101012 =10203040504030201
कारण: 1 से शुरु कीजिए। उसके बाद जीरो लिखने के बाद उतनी संख्या तक लिखिए जितने 1 दिए हुए हैं। उसके बाद घटते हुए क्रम में संख्याएँ लिखते हुए 1 तक लिखें। हर दो संख्याओं के बीच एक जीरो लिखें।
प्रश्न 6: दिए गए प्रतिरूप का उपयोग करते हुए लुप्त संख्याओं को प्राप्त कीजिए
12 + 22 + 22 = 32
22 + 32 + 62 = 72
32 + 42 + 122 = 132
42 + 52 + _2 = 212
52 + _2 + 302 = 312
62 + 72 + _2 = _2
उत्तर: 42 + 52 + 202 = 212
52 + 62 + 302 = 312
62 + 72 + 422 = 432
कारण: तीसरी संख्या पहली दो संख्याओं के गुणनफल के बराबर है। चौथी संख्या तीसरी संख्या से 1 अधिक है।
प्रश्न 7: योग संक्रिया किए बिना योगफल ज्ञात कीजिए
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
उत्तर: यहाँ पर 1 से शुरु होकर पाँच क्रमागत विषम संख्याएँ दी गई हैं।
ऐसी 5 क्रमागत विषमसंख्याओं का योग = 52 = 25
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + I1 + 13 + 15 + 17 +19
उत्तर: यहाँ पर 1 से शुरु होकर 10 क्रमागत विषम संख्याएँ दी गई हैं।
ऐसी 10 क्रमागत विषमसंख्याओं का योग = 102 = 100
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
उत्तर: यहाँ पर 1 से शुरु होकर 12 क्रमागत विषम संख्याएँ दी गई हैं।
ऐसी 12 क्रमागत विषमसंख्याओं का योग = 122 = 144
प्रश्न 8:
(a) 49 को 7 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
उत्तर: 49 = 72
= 1 शुरु होकर 7 क्रमागत विषम संख्याओं का योग
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
(b) 121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
उत्तर: 121 = 112
= 1 शुरु होकर 11 क्रमागत विषम संख्याओं का योग
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 19 + 21 + 23
प्रश्न 9: निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग के बीच में कितनी संख्याएँ हैं?
(a) 12 और 13
उत्तर: 122 = 144
132 = 169
दोनों संख्याओं के वर्ग के बीच 169 – 144 = 25 संख्याएँ हैं
(b) 25 और 26
उत्तर: 252 = 625
262 = 676
दोनों संख्याओं के वर्ग के बीच 676 – 625 = 51 संख्याएँ हैं
(c) 99 और 100
उत्तर: 992 = 9801
1002 = 10000
दोनों संख्याओं के वर्ग के बीच 10000 – 9801 = 199 संख्याएँ हैं