घन और घनमूल
NCERT अभ्यास 7.1
प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन सी संख्याएँ पूर्ण घन नहीं हैं?
(a) 216
उत्तर: 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
= 23 × 33
इस गुणनखंड में 2 और 3 के घात 3 हैं। इसलिए यह संख्या पूर्ण घन है।
(b) 128
उत्तर: 128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 27
इस गुणनखंड में 2 का घात 7 है जो 3 से विभाजित नहीं हो सकता है। इसलिए यह संख्या पूर्ण घन नहीं है।
(c) 1000
उत्तर: इस संख्या के अंत में 3 जीरो हैं। इसलिए यह एक पूर्ण घन है।
1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
= 23 × 53
इस गुणनखंड में 2 और 5 के घात 3 हैं। इसलिए यह एक पूर्ण घन है।
(d) 100
उत्तर: इस संख्या के अंत 2 जीरो हैं। इसलिए यह एक पूर्ण घन नहीं है।
1000 = 2 × 2 × 5 × 5
= 22 × 52
इस गुणनखंड में 2 और 5 का घात 2 है, जो 3 से विभाजित नहीं हो सकता है। इसलिए यह संख्या पूर्ण घन नहीं है।
(e) 46656
उत्तर: 46656 = 26 × 36
इस गुणनखंड में 2 और 3 का पावर 6 है, जो 3 से विभाजित होता है। इसलिए यह संख्या पूर्ण घन है।
प्रश्न 2: वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे निम्नलिखित संख्याओं को गुना करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।
(a) 243
उत्तर: 243 = 35
35 × 3 = 36
इसलिए इस संख्या को 3 से गुणा करने पर पर मिलने वाला गुणनफल एक पूर्ण घन होगा।
(b) 256
उत्तर: 256 = 28
28 × 2 = 29
इसलिए इस संख्या को 2 से गुणा करने पर मिलने वाला गुणनफल एक पूर्ण घन होगा।
(c) 72
उत्तर: 72 = 23 × 32
23 × 32 × 3 = 23 × 33
इसलिए इस संख्या को 3 से गुणा करने पर पर मिलने वाला गुणनफल एक पूर्ण घन होगा
(d) 675
उत्तर: 675 = 33 × 52
33 × 52 × 5 = 33 × 53
इसलिए इस संख्या को 5 से गुणा करने पर पर मिलने वाला गुणनफल एक पूर्ण घन होगा।
(e) 100
उत्तर: 100 = 22 × 52
22 × 52 × 2 × = 23 × 53
इसलिए इस संख्या को 10 से गुणा करने पर पर मिलने वाला गुणनफल एक पूर्ण घन होगा।
प्रश्न 3: वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे निम्नलिखित संख्याओं को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।
(a) 81
उत्तर: 81 = 34
34 ÷ 3 = 33
इसलिए इस संख्या को 3 से भाग देने पर मिलने वाला भागफल एक पूर्ण घन होगा।
(b) 128
उत्तर: 128 = 27
27 ÷ 2 = 26
इसलिए इस संख्या को 2 से भाग देने पर मिलने वाला भागफल एक पूर्ण घन होगा।
(c) 135
उत्तर: 135 = 33 × 5
33 × 5 ÷ 5 = 33
इसलिए इस संख्या को 5 से भाग देने पर मिलने वाला भागफल एक पूर्ण घन होगा।
(d) 192
उत्तर: 192 = 26 × 3
26 × 3 ÷ 3 = 26
इसलिए इस संख्या को 3 से भाग देने पर मिलने वाला भागफल एक पूर्ण घन होगा।
(e) 704
उत्तर: 704 = 26 × 11
26 × 11 ÷ 11 = 26
इसलिए इस संख्या को 11 से भाग देने पर मिलने वाला भागफल एक पूर्ण घन होगा।
प्रश्न 4: परीक्षित प्लास्टिसिन का एक घनाभ बनाता है, जिसकी भुजाएँ 5 सेमी, 2 सेमी और 5 सेमी हैं। एक घन बनाने के लिए ऐसे कितने घनाभों की आवश्यकता होगी?
उत्तर: इसके लिए 5 और 2 का लघुत्तम निकालना होगा
5 और 2 का लघुत्तम = 5 × 2 = 10
बनने वाले घन की भुजा = 10 सेमी
बनने वाले घन का आयतन = 10 × 10 × 10 = 1000 घन सेमी
दिए गए घनाभ का आयतन = 2 × 5 × 5 = 50 घन सेमी
इसलिए घन बनाने के लिए घनाभों की संख्या = 1000 ÷ 50 = 20