चतुर्भुज

NCERT अभ्यास 3.3

प्रश्न 1: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या प्रयोग किए गए गुण द्वारा पूरा कीजिए

उत्तर: (a) AD = सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं

(b) ∠DCB = सम्मुख कोण बराबर हैं

(c) OC = विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

(d) ∠DAB + ∠CDA = 180°

प्रश्न 2: निम्न समांतर चतुर्भुजों में अज्ञात के मानों को ज्ञात कीजिए

(i)

उत्तर: यहाँ, `x = 180° - 100° = 80°`

समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं

इसलिए, `y = 100°` और `z = 80°`

(ii)

उत्तर: x, y और z कोण 50° के पूरक हैं

इसलिए अभीष्ट कोण `= 180° - 50° = 130°`

(iii)

उत्तर: सम्मुख कोण z = 80°

x और y पूरक कोण हैं

इसलिए, x और y `= 180° - 80° = 100°`

(iv)

उत्तर: किसी रेखा के एक ही ओर के कोण पूरक होते हैं

इसलिए, `x = 90°`

इसलिए, `y = 180° - (90° + 30°) = 60°`

दी गई आकृति में सबसे ऊँचे शीर्ष का कोण `= 60° xx 2=120°`

इसलिए सबसे निचले शीर्ष का कोण = 120° और `z = 60°`

(v)

उत्तर: y= 112°, चूँकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं

चूँकि आसन्न कोण बराबर होते हैं इसलिए निचले शीर्ष का कोण

`=180°-112°=68°`

इसलिए, `z=68°-40°=28°`

दूसरा तरीका:

कोण x और z तिर्यक रेखा पर बने एकांतर कोण हैं, इसलिए दोनों बराबर हैं

प्रश्न 3: क्या एक चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि

(i) ∠D + ∠B = 180°?

उत्तर: (i) ऐसा हो सकता है लेकिन जरूरी नहीं कि हमेशा हो। हमें अन्य शर्तों को देखना होता है।

(ii) AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm और BC 4.4 cm?

उत्तर: (ii) समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। लेकिन यहाँ पर AD और BC बराबर नहीं हैं। इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज नहीं है।

(iii) ∠A = 70° और ∠C = 65° ?

उत्तर: (iii) सम्मुख कोण बराबर नहीं हैं। इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज नहीं है।

प्रश्न 4: एक चतुर्भुज की कच्ची आकृति खींचिए जो समांतर चतुर्भुज न हो परंतु जिसके दो सम्मुख कोणों के माप बराबर हों।

उत्तर: एक पतंग

प्रश्न 5: किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3:2 है। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण पूरक होते हैं, यानि उनका योग 180° होता है।

इसलिए, `180°= 3x + 2x`

या, `5x = 180°`

या, `x = 36°`

इसलिए, कोणों के मान हैं `36° xx 3 = 108°`

और `36° xx 2 = 72°`

प्रश्न 6: किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों के माप बराबर हैं। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 90°, क्योंकि दोनों का योग 180° होता है और चारों कोणों का मान 360 डिग्री होता है

प्रश्न 7: संलग्न आकृति HOPE एक समांतर चतुर्भुज है। x, y और z कोणों की माप ज्ञात कीजिए। ज्ञात करने में प्रयोग किए गए गुणों को बताइए।

उत्तर : `y` का सम्मुख कोण `= 180° - 70°=110°`

इसलिए, `y = 110°`

`x = 180° - (110° + 40°) = 30°` (त्रिभुज के कोणों का योग)

`z = 30°` (एकांतर कोण)

प्रश्न 8: निम्न आकृतियाँ GUNS और RUNS समांतर चतुर्भुज हैं। x तथा y ज्ञात कीजिए (लंबाई सेमी में है)

उत्तर: समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं

इसलिए, `3y – 1 = 26`

या, `3y = 27`

या, `y = 9`

इसी तरह, `3x = 18`

या, `x = 6`

उत्तर: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजी होते हैं

इसलिए, `y + 7 = 20`

या, `y = 20 – 7 = 13`

अब, `x + y = 16`

या, `x + 13 = 16`

या, `x = 16 – 13 = 3`

प्रश्न 9: दी गई आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समांतर चतुर्भुज हैं, x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समांतर चतुर्भुज RISK में

`∠ISK = 180° - 120° = 60°`

इसी तरह समांतर चतुर्भुज CLUE में

`∠CEU = 180° - 70° = 110°`

अब त्रिभुज में

`x = 180° - (110° - 60°) = 10°`