क्षेत्रमिति
NCERT अभ्यास 11.2
प्रश्न 1: एक मेज के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकार समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ 1 मी और 1.2 मी हैं तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 0.8 मी है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समलंब का क्षेत्रफल = `1/2` × उँचाई × समांतर भुजाओं का योग
समांतर भुजाएँ = 1 और 1.2 मी
ऊँचाई = 0.8 मी
इसलिए क्षेत्रफल `=1/2xx(1+1.2)xx0.8`
`=1.1xx0.8=0.88` वर्ग मी
प्रश्न 2: एक समलंब का क्षेत्रफल 34 वर्ग सेमी है और इसकी उँचाई 4 सेमी है। समांतर भुजाओं में से एक की लंबाई 10 सेमी है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समलंब का क्षेत्रफल = `1/2` × उँचाई × समांतर भुजाओं का योग
इसलिए, `34=1/2xx(10+x)xx4`
या, `34=2(10+x)`
या, `17=10+x`
या, `x=17-10=7` सेमी
प्रश्न 3: एक समलंब के आकार के खेत ABCD की बाड़ की लंबई 120 मी है। यदि BC = 48 मी, CD = 17 मी और AD = 40 मी है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा AB समांतर भुजाओं AD तथा BC पर लंब है।
उत्तर: यदि D से BC पर लंब खींचा जाए तो इसकी लंबाई AB के बराबर होगी
इसलिए EC = 48 - 40 = 8 मी
ΔDEC में `DE^2=DC^2-EC^2`
या, `DE^2=17^2-8^2=289-64=225`
या, `DE = 15` मी
समलंब का क्षेत्रफल = `1/2` × उँचाई × समांतर भुजाओं का योग
`=1/2xx(48+40)xx15`
`=44xx15=660` वर्ग मी
प्रश्न 4: एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण 24 मी है और शेष सम्मुख शीर्षों से इस विकर्ण पर खींचे गए लंब 8 मी एवं 13 मी हैं। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: ऊपर वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × ऊँचाई
`=1/2xx13xx24=156` वर्ग मी
नीचे वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल `=1/2` × ऊँचाई × आधार
`=1/2xx8xx24=96` वर्ग मी
खेत का क्षेत्रफल = 156 + 96 = 252 वर्ग मी
प्रश्न 5: किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 7.5 सेमी एवं 12 सेमी हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल `=1/2` × विकर्णों का गुणनफल
`=1/2xx7.5xx12=45` वर्ग सेमी
प्रश्न 6: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी भुजा 6 सेमी और शीर्षलंब 4 सेमी है। यदि एक विकर्ण की लंबाई 8 सेमी है तो दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: यदि एक विकर्ण की लंबाई 8 सेमी है तो दूसरे विकर्ण की माप को पायथागोरस प्रमेय द्वारा पता किया जा सकता है
विकर्ण 1 के आधे का वर्ग = भुजा का वर्ग – विकर्ण 2 के आधे का वर्ग
`=6^2-4^2=36-16=20`
`=4sqrt2`
विकर्ण 2 `=8sqrt2`
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल `=1/2` × विकर्णों का गुणनफल
`=1/2xx4xx8sqrt2=16sqrt2` वर्ग सेमी
प्रश्न 7: किसी भवन के फर्श में समचतुर्भुज के आकार की 3000 टाइलें हैं और इनमें से प्रत्येक के विकर्ण 45 सेमी एवं 30 सेमी लंबाई के हैं। 4 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से इस फर्श को पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल `=1/2` × विकर्णों का गुणनफल `=1/2xx45xx30=675`
पॉलिश का खर्च = कुल क्षेत्रफल × दर
`=3000xx675xx4=8100000` रु
प्रश्न 8: मोहन एक समलंब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समांतर है और लंबाई में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल 10,500 वर्ग मी है और दो समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी 100 मी है, तो नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समलम्ब का क्षेत्रफल = `1/2` × समांतर भुजाओं का योग × ऊँचाई
या, `10500=1/2` × समांतर भुजाओं का योग × 100
या, समांतर भुजाओं का योग `=10500xx(2)/(100)=210`
चूँकि एक समांतर भुजा दूसरी से दोगुनी है
इसलिए, 3 × छोटी भुजा = 210
या, छोटी भुजा = 70
बड़ी भुजा = 140
यह नदी के निकट वाली भुजा है
प्रश्न 9: एक ऊपर से उठे हुए चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है। जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: ऊपरी भाग समलंब के आकार का है। यही आकार निचले भाग में भी है। इसलिए दो समलंबों के क्षेत्रफल में बीच वाले आयताकार हिस्से का क्षेत्रफल जोड़ने से अष्टभुज का क्षेत्रफल मिल जाएगा।
त्रिभुज का आधार पायथागोरस प्रमेय से पता किया जा सकता है
आधार2 = कर्ण2 - लंब2
= 52 - 42 = 25 - 16 = 9
इसलिए, आधार = 3
इसलिए समलंब की ऊपरी समांतर भुजा = 11- 6 = 5 सेमी
समलंब का क्षेत्रफल = `1/2` × समांतर भुजाओं का योग × उँचाई
`=1/2xx11xx5=(55)/(2)`
इसलिए दो समलंबों का क्षेत्रफल = 55 वर्ग सेमी
अब, आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
`=11xx5=55`
इसलिए चबूतरे का क्षेत्रफल = 55 + 55 = 110 वर्ग सेमी
प्रश्न 10: एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभिन्न तरीकों से विभाजित किया। दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कोई और विधि बता सकते हैं?
उत्तर: ज्योति ने पार्क को दो सर्वांगसम समलंबों में बाँटा है। इन समलंबों की समांतर भुजाओं की माप 15 मी और 30 मी है और ऊँचाई 7.5 मी है।
समलंब का क्षेत्रफल = `1/2` समांतर भुजाओं का योग × ऊँचाई
इसलिए दो समलंबों का क्षेत्रफल `=(30+15)xx7.5=337.5` वर्ग मी
कविता ने पार्क के ऊपरी भाग को त्रिभुजाकार और निचले भाग को आयताकार हिस्से में बाँटा है। आयताकार हिस्से की भुजाएँ 15 मी की हैं, और त्रिभुज के आधार और ऊँचाई की माप 15 मी है।
वर्ग का क्षेत्रफल `=15xx15=225`
त्रिभुज का क्षेत्रफल `=1/2xx15xx15=112/5`
कुल क्षेत्रफल `=225+112.5=337.5` वर्ग सेमी
प्रश्न 11: संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंत: विमाएँ क्रमश: 24 सेमी X 28 सेमी एवं 16 सेमी X 20 सेमी हैं। यदि फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान हैं, तो प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: भीतरी आयत के किसी भी भुजा से बाहरी आयत की भुजा पर एक लम्ब डालिए, जैसे कि चित्र में दिखाया गया है। इससे हमें 4 सर्वांगसम त्रिभुज मिलेंगे।
अब 24 - 16 = 8 और 28 - 20 = 8
इसलिए हर त्रिभुज का आधार और ऊँचाई `=8/2=4` सेमी
दोनों क्षैतिज आयतों की भुजाएँ = 4 सेमी और 16 सेमी
दोनों ऊर्ध्वाधर आयतों की भुजाएँ = 4 सेमी और 20 सेमी
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल `=1/2` × उँचाई × आधार
`=1/2xx4xx4=8` वर्ग सेमी
क्षैतिज आयत का क्षेत्रफल = 4 × 16 = 64 वर्ग सेमी
इसलिए फ्रेम के निचले क्षैतिज हिस्से का क्षेत्रफल = 64 + 8 + 8 = 80 वर्ग सेमी
ऊर्ध्वाधर आयत का क्षेत्रफल = 4 × 20 = 80 वर्ग सेमी
इसलिए फ्रेम के एक ऊर्ध्वाधर हिस्से का क्षेत्रफल = 80 + 8 + 8 = 96 वर्ग सेमी