बहुपद
अभ्यास 2.4
प्रश्न 1: बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड `x+1` है।
(a) `x^3+x^2+x+1`
उत्तर: `x+1=0`
या, `x=-1`
बहुपद में इस मान को रखने पर:
`(-1)^3+(-1)^2-1+1`
`=-1+1-1+1=0`
हाँ, `x+1` इस बहुपद का गुणनखंड है।
(b) `x^4+x^3+x^2+x+1`
उत्तर: `(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2-1+1`
`=1-1+1-1+1=1`
नहीं, `x+1` इस बहुपद का गुणनखंड नहीं है।
(c) `x^4+3x^3+3x^2+x+1`
उत्तर: `(-1)^4+3(-1)^3+3(-1)^2-1+1`
`=1-3+3-1+1=1`
नहीं, `x+1` इस बहुपद का गुणनखंड नहीं है।
(d) `x^3-x^2-(2+sqrt2)x+sqrt2`
उत्तर: `(-1)^3-(-1)^2-(2+sqrt2)(-1)+sqrt2`
`=-1+1+2+sqrt2+sqrt2`
`=2+2sqrt2`
नहीं, `x+1` इस बहुपद का गुणनखंड नहीं है।
प्रश्न 2: गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं:
(a) `p(x)=2x^3+x^2-2x-1`, `g(x)=x+1`
उत्तर: `x+1=0`
या, `x=-1`
बहुपद में मान रखने पर
`2(-1)^3+(-1)^2-2(-1)-1`
`=-2+1+2-1=0`
गुणनखंड है।
(b) `p(x)=x^3+3x^2+3x+1`, `g(x)=x+2`
उत्तर: `x+2=0`
या , `x=-2`
बहुपद में मान रखने पर।
`(-2)^3+3(-2)^2+3(-2)+1`
`=-8+6-6+1=9`
गुणनखंड नहीं है।
(c) `p(x)=x^3-4x^2+x+6`, `g(x)=x-3`
उत्तर: `x-3=0`
या `x=3`
बहुपद में मान रखने पर
`3^3-4xx3^2+3+6`
`=27-36+3+6=36-36=0`
गुणनखंड है।
प्रश्न 3: k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x -1), p(x) का एक गुणनखंड है।
(a) `p(x)=x^2+x+k`
उत्तर: `x-1=0`
`x=1`
`1^2+1+k=0`
`2+k=0`
`k=-2`
(b) `p(x)=2x^2+kx+sqrt2`
उत्तर: `x-1=0`
`x=1`
(c) `p(x)=kx^2-sqrtx+1`
उत्तर: `x-1=0`
`x=1`
(d) `p(x)=kx^2-3x+k`
उत्तर: `x-1=0`
`x=1`
प्रश्न 4: गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(a) `12x^2-7x+1`
उत्तर: `12x^2-7x+1`
`=12x^2-4x-3x+1`
`=4x(3x-1)-1(3x-1)`
`=(4x-1)(3x-1)`
(b) `2x^2+7x+3`
उत्तर: `2x^2+7x+3`
`=2x^2+6x+x+3`
`=2x(x+3)+1(x+3)`
`=(2x+1)(x+3)`
(c) `6x^2+5x-6`
उत्तर: `6x^2+5x-6`
`=6x^2+9x-4x-6`
`=3x(2x+3)-2(2x+3)`
`=(3x-2)(2x+3)`
(d) `3x^2-x-4`
उत्तर: `3x^2-x-4`
`=3x^2+3x-4x-4`
`=3x(x+1)-4(x+1)`
`=(3x-4)(x+1)`
प्रश्न 5: गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(a) `x^3-2x^2-x+2`
उत्तर: यहाँ पर चर राशि = 2
2 के गुणनखंड हैं 1 और 2
यदि f(1) = 0 है तो (x-1) दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड होगा
`f(1)=x^3-2x^2-x+2`
`=(1)^3-2(1)^2-1+2`
`=-1-2-1+2=0`
इसलिए दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड है `x-1`
अब बहुपद का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:
`x^3-2x^2-x+2`
`=x^3-x^2-x^2+x-2x+2`
`=x^2(x-1)-x(x-1)-2(x-1)`
`=(x-1)(x^2-x-2)`
अब `x^2-x-2` का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:
`x^2-2x+x-2`
`=x(x-2)+1(x-2)`
`=(x+1)(x-2)`
इसलिए:
`x^3-2x^2-x+2=(x-1)(x+1)(x-2)`
(b) `x^3-3x^2-9x-5`
उत्तर: यहाँ पर चर राशि = 5
5 के गुणनखंड हैं 1 और 5
यदि f(1) = 0 है तो (x-1) दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड होगा
`f(1)=x^3-3x^2-9x-5`
`=1^3-3(1)^2-9xx1-5`
`=1-3-9-5=-16≠0`
यानि (x-1) दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।
अब यदि f(5) = 0 है तो (x-5) दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड होगा
`f(5)=x^3-3x^2-9x-5`
`=(5)^3-3(5)^2-9(5)-5`
`=125-75-45-5=0`
इसलिए दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड है `x-5`
अब बहुपद का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:
`x^3-3x^2-9x-5`
`=x^3-5x^2+2x^2-10x+x-5`
`=x^2(x-5)+2x(x-5)+1(x-5)`
`=(x-5)(x^2+2x+1)`
अब `x^2-2x+1` का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:
`x^2+2x+1=x^2+x+x+1`
`=x(x+1)+1(x+1)`
`=(x+1)(x+1)`
इसलिए:
`x^3-3x^2-9x-5=(x+1)(x+1)(x-5)`
(c) `x^3+13x^2+32x+20`
उत्तर: यहाँ पर चर राशि = 20
5 के गुणनखंड हैं 1, 2 और 5
यदि f(1) = 0 है तो (x-1) दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड होगा
`f(1)=x^3+13x^2+32x+20`
`=1+13+32+20=66≠0`
अब, यदि f(-1) = 0 है तो (x+1) दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड होगा
`f(-1)=(-1)^3+13(-1)^2+32(-1)+20`
`=-1+13-32+20=33-33=0`
इसलिए दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड (x+1) है।
अब बहुपद का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:
`x^3+13x^2+32x+20`
`=x^3+13x^2+12x+20x+20`
`=x^3+x^2+12x^2+12x+20x+20`
`=x^2(x+1)+12x(x+1)+20(x+1)`
`=(x+1)(x^2+12x+20)`
अब `x^2+12x+20` का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:
`x^2+12x+20=x^2+10x+2x+20`
`=x(x+10)+2(x+10)`
`=(x+2)(x+10)`
इसलिए:
`x^3+13x^2+32x+20=(x+1)(x+2)(x+10)`
(d) `2y^3+y^2-2y-1`
उत्तर: यहाँ पर चर राशि = -1
`f(-1)=2(-1)^3+(-1)^2-2(-1)-1`
`=-2+1+2-1=0`
इसलिए दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड (y+1) है।
अब गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:
`2y^3+y^2-2y-1`
`=2y^3+y^2-y-y-1`
`=2y^3+2y^2-y^2-y-y-1`
=`2y^2(y+1)-y(y+1)-1(y+1)`
`=(y+1)(2y^2-y-1)`
अब का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:
`2y^2-y-1=2y^2-2y+y-1`
`=2y(y-1)+1(y-1)`
`=(y-1)(2y+1)`
इसलिए:
`2y^3+y^2-2y-1=(y+1)(y-1)(2y+1)`