चतुर्भुज

अभ्यास 1

Part 1

प्रश्न 1: एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5: 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हम जानते हैं कि चतुर्भुज के कोणों का योग = 360°

इसलिए, `3x + 5x + 9x + 13x = 360°`

या, `30x = 360°`

या, `x = 12°`

इसलिए, `3x = 36°`, `5x = 60°`, `9x = 108°` और `13x = 156°`


प्रश्न 2: यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।

quadrilateral

उत्तर: इस समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण बराबर हैं।

इसलिए, ΔABC ≅ ΔADC ≅ ΔABD ≅ ΔBCD

इसलिए, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°

यहाँ पर चारों कोण समकोण हैं, इसलिए दिया गया समांतर चतुर्भुज एक आयत है।

प्रश्न 3: दर्शाइए कि यदि के चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।

quadrilateral

उत्तर: चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC और BD एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। सिद्ध करना है AB = BC = CD = AD

ΔAOB और ΔAOD में

DO = OB (O मध्य बिंदु है)

AO = AO (साझा भुजा)

∠AOB = ∠AOD (समकोण)

इसलिए, ΔAOB≅ ΔAOD

इसलिए, AB = AD

इसी तरह AB = BC = CD = AD भी सिद्ध किया जा सकता है, जिसका मतलब है कि ABCD एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4: दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

इस प्रश्न के लिए पिछ्ले प्रश्न वाली फिगर का इस्तेमाल करते हैं।

उत्तर: दी गई आकृति में मान लीजिए ∠DAB = 90°

इसलिए, ∠DAO = ∠BAO = 45°

इसलिए, ∠AOD = 90°

DO = AO (समान कोणों की सामने की भुजाएँ)

इसी तरह AO = OB = OC भी सिद्ध किया जा सकता है। इससे सिद्ध होता है कि वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं।

प्रश्न 5: दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।

उत्तर: इस प्रश्न के लिए पिछ्ले प्रश्न वाली फिगर का इस्तेमाल करते हैं।

यदि DO = AO

तो ∠DAO = ∠BAO = 45°

(बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं)

इससे पता चलता है कि चारों कोण समकोण हैं। इसलिए यह एक वर्ग है।

प्रश्न 6: एक समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है।दर्शाइए कि

  1. यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
  2. ABCD एक समचतुर्भुज है।
quadrilateral

उत्तर: ΔADC और ΔCBA में

∠DAC = ∠BCA (एकांतर कोण)

∠DCA = ∠BAC (एकांतर कोण)

∠DAC = ∠BAC (दिया गया है)

इसलिए, ∠DCA = ∠DAC

इसलिए, DA = DC

इसलिए, ABCD समचतुर्भुज सिद्ध हुआ


प्रश्न 7: ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।

नोट: इस प्रश्न को हल करने के लिए पिछ्ले प्रश्न का फिगर इस्तेमाल होता

उत्तर: ΔAOD और ΔAOB में

AO = AO (साझा भुजा)

AD = AB (समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं)

DO = OB (समतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।)

इसलिए, ΔAOD ≅ ΔAOB

इसलिए, ∠DAO = ∠BAO

इसी तरह निम्नलिखित को सिद्ध किया जा सकता है:

∠DCO = ∠BCO

∠ADO = ∠CDO

∠ABO = ∠CBO

प्रश्न 8: ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि

  1. ABCD एक वर्ग है
  2. विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।

उत्तर: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC कोण ∠DAB को समद्विभाजित करता है।

ΔADC और ΔABC में

∠DAC = ∠BAC (विकर्ण इन कोणों को समद्विभाजित कर रहा है)

AC = AC (साझा भुजा)

AD = BC (समांतर चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ आपस में बराबर होती हैं)

इसलिए, ΔADC ≅ ΔABC

इसलिए, ∠DCA = ∠BCA

इससे सिद्ध होता है कि AC कोण ∠DCB को भी समद्विभाजित करता है।

अब मान लीजिए कि एक अन्य विकर्ण DB विकर्ण AC को O पर काटता है।

चूँकि यह एक समांतर चतुर्भुज है इसलिए विकर्ण DB और AC परस्पर समद्विभाजक हैं।

ΔAOD और ΔBOD में

∠DAO = ∠DCO

(समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं इसलिए उनके आधे भी बराबर होंगे।)

AO = CO और DO = DO

इसलिए ΔAOD ≅ ΔBOD

इसलिए, ∠DOA = ∠DOB=90°

चूँकि विकर्ण एक दूसरे पर लम्ब हैं इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।



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