बहुपद
अभ्यास 2.1
प्रश्न 1: निम्नलिखित व्यंजकों में कौन कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।
- `4x^2-3x+7`
- `y^2+sqrt2`
- `3sqrtt+tsqrt2`
- `y+2/y`
- `x^(10)+y^3+t^(50)`
उत्तर: (e) में तीन चर हैं, (a) (b) एक चर में बहुपद हैं, (c) (d) में चर का प्रत्येक घातांक पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं।
प्रश्न 2: निम्नलिखित में से प्रत्येक में x2 का गुणांक लिखिए:
- `2+x^2+x`
- `2-x^2+x^3`
- `(π)/2x^2+x`
- `sqrt2x-1`
प्रश्न 3: 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक एक उदाहरण दीजिए।
उत्तर: `x^(35)+x` `x^(100)`
प्रश्न 4: निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए।
- `5x^3+4x^2+7x`
- `4-y^2`
- `5t-sqrt7`
- 3
उत्तर: (a) 3,(b) 2, (c) 1, (d) 0
प्रश्न 5: बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं।
- `x^2+x`
- `x-x^3`
- `y+y^2+4`
- `1+x`
- `3t`
- `r^2`
- `7x^3`
उत्तर: (a) द्विघाती, (b) त्रिघाती, (c) द्विघाती, (d) रैखिक, (e) रैखिक, (f) द्विघाती, (g) त्रिघाती
अभ्यास 2.2
प्रश्न 1: निम्नलिखित पर बहुपद `5x-4x^2+3` के मान ज्ञात कीजिए:
(a) `x=0`
उत्तर: बहुपद में मान रखने पर
`5xx0-4xx0^2+3`
`=0-0+3=3`
(b) `x=-1`
उत्तर: बहुपद में मान रखने पर
`5xx(-1)-4xx(-1)^2+3`
`=-5-4+3=-6`
(c) `x=2`
उत्तर: बहुपद में मान रखने पर
`5xx2-4xx2^2+3`
`=10-16+3=-3`
प्रश्न 2: निम्नलिखित में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1), और p(2) ज्ञात कीजिए:
(a) `p(y)=y^2-y+1`
उत्तर: `p(0)=0^2-0+1=1`
`p(1)=1^2-1+1=1`
`p(2)=2^2-2+1=4-2+1=3`
(b) `p(t)=2+t+2t^2-t^3`
उत्तर: `p(0)=2+0+2xx0^2-0^3=2`
`p(1)=2+1+2xx1-1=4`
`p(2)=2+2+2xx2^2-2^3`
`=4+8-8=4`
(c) `p(x)=x^3`
उत्तर: `p(0)=0^3=0`
`p(1)=1^3=1`
p(2)=2^3=8`
(d) `p(x)=(x-1)(x+1)`
उत्तर: `p(0)=(0-1)(0+1)=-1xx1=-1`
`p(1)=(1-1)(1+1)=0`
`p(2)=(2-1)(2+1)=3`
प्रश्न 3: सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं:
(a) `p(x)=3x+1`: `x=-1/3`
उत्तर: `3x+1=-3/3+1=-1+1=0`
शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।
(b) `p(x)=5x-π`: `x=4/5`
उत्तर: `5x-π=5xx4/5-π`
`=5-π≠0`
शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य नहीं होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक नहीं है।
(c) `p(x)=x^2-1`: `x=1, -1`
उत्तर: `x^2=1^2-1=0`
`x^2=(-1)^2-1=0`
शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।
(d) `p(x)=(x+1)(x-2)`: `x=-1, 2`
उत्तर: `p(-1)=(-1+1)(-1-2)=0`
`p(2)=(2+1)(2-2)=0`
शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।
(e) `p(x)=x^2`, `x=0`
उत्तर: `0^2=0`
शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।
(f) `p(x)=lx+m`: `x=-m/l`
उत्तर: `lx+m=l\xx\(-m/l)+m`
`=-m+m=0`
शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।
(g) `p(x)=3x^2-1`: `x=-1/(sqrt3)`, `2/(sqrt3)`
उत्तर: `p(-1/(sqrt3))=3xx(-1/(sqrt3))^2-1`
`=3xx1/3-1=1-1=0`
शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।
`p(2/(sqrt3)^2)=3xx(2/(sqrt3))^2-1`
`=3xx4/3-1=4-1=3`
शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य नहीं होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक नहीं है।
(h) `p(x)=2x+1`: `x=1/2`
उत्तर: `2xx1/2+1=1+1=2`
शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य नहीं होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक नहीं है।
प्रश्न 4: निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए:
(a) `p(x)=x+5`
उत्तर: `x+5=0`
`x=-5`
(b) `p(x)=x-5`
उत्तर: `x-5=0`
`x=5`
(c) `p(x)=2x+5`
उत्तर: `2x+5=0`
`2x=-5`
`x=-5/2`
(d) `p(x)=3x-2`
उत्तर: `3x-2=0`
`3x=2`
`x=2/3`
(e) `p(x)=3x`
उत्तर: `3x=0`
`x=0`
(f) `p(x)=cx+d`: `c≠0` c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
उत्तर: `cx+d=0`
`cx=-d`
`x=-d/c`
अभ्यास 2.3
प्रश्न 1: `x^3+3x^2+3x+1` को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए:
(a) `x+1`
उत्तर:
(b) `x-1/2`
उत्तर:
(c) `x`
उत्तर:
(d) `x+π`
उत्तर:
(e) `5+2x`
उत्तर:
प्रश्न 2: `x^3-ax^2+6x-a` को `x-a` से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
प्रश्न 3: जाँच कीजिए कि `7+3x`, `3x^3+7x` का एक गुणनखंड है या नहीं।
उत्तर:
