बहुपद

अभ्यास 2.1

प्रश्न 1: निम्नलिखित व्यंजकों में कौन कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।

  1. `4x^2-3x+7`
  2. `y^2+sqrt2`
  3. `3sqrtt+tsqrt2`
  4. `y+2/y`
  5. `x^(10)+y^3+t^(50)`

उत्तर: (e) में तीन चर हैं, (a) (b) एक चर में बहुपद हैं, (c) (d) में चर का प्रत्येक घातांक पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं।

प्रश्न 2: निम्नलिखित में से प्रत्येक में x2 का गुणांक लिखिए:

  1. `2+x^2+x`
  2. `2-x^2+x^3`
  3. `(π)/2x^2+x`
  4. `sqrt2x-1`
उत्तर: (a) 1, (b) -1, (c) `(π)/2`, (d) 0

प्रश्न 3: 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक एक उदाहरण दीजिए।

उत्तर: `x^(35)+x` `x^(100)`

प्रश्न 4: निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए।

  1. `5x^3+4x^2+7x`
  2. `4-y^2`
  3. `5t-sqrt7`
  4. 3

उत्तर: (a) 3,(b) 2, (c) 1, (d) 0

प्रश्न 5: बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं।

  1. `x^2+x`
  2. `x-x^3`
  3. `y+y^2+4`
  4. `1+x`
  5. `3t`
  6. `r^2`
  7. `7x^3`

उत्तर: (a) द्विघाती, (b) त्रिघाती, (c) द्विघाती, (d) रैखिक, (e) रैखिक, (f) द्विघाती, (g) त्रिघाती


अभ्यास 2.2

प्रश्न 1: निम्नलिखित पर बहुपद `5x-4x^2+3` के मान ज्ञात कीजिए:

(a) `x=0`

उत्तर: बहुपद में मान रखने पर

`5xx0-4xx0^2+3`

`=0-0+3=3`

(b) `x=-1`

उत्तर: बहुपद में मान रखने पर

`5xx(-1)-4xx(-1)^2+3`

`=-5-4+3=-6`

(c) `x=2`

उत्तर: बहुपद में मान रखने पर

`5xx2-4xx2^2+3`

`=10-16+3=-3`

प्रश्न 2: निम्नलिखित में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1), और p(2) ज्ञात कीजिए:

(a) `p(y)=y^2-y+1`

उत्तर: `p(0)=0^2-0+1=1`

`p(1)=1^2-1+1=1`

`p(2)=2^2-2+1=4-2+1=3`

(b) `p(t)=2+t+2t^2-t^3`

उत्तर: `p(0)=2+0+2xx0^2-0^3=2`

`p(1)=2+1+2xx1-1=4`

`p(2)=2+2+2xx2^2-2^3`

`=4+8-8=4`

(c) `p(x)=x^3`

उत्तर: `p(0)=0^3=0`

`p(1)=1^3=1`

p(2)=2^3=8`

(d) `p(x)=(x-1)(x+1)`

उत्तर: `p(0)=(0-1)(0+1)=-1xx1=-1`

`p(1)=(1-1)(1+1)=0`

`p(2)=(2-1)(2+1)=3`

प्रश्न 3: सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं:

(a) `p(x)=3x+1`: `x=-1/3`

उत्तर: `3x+1=-3/3+1=-1+1=0`

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

(b) `p(x)=5x-π`: `x=4/5`

उत्तर: `5x-π=5xx4/5-π`

`=5-π≠0`

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य नहीं होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक नहीं है।

(c) `p(x)=x^2-1`: `x=1, -1`

उत्तर: `x^2=1^2-1=0`

`x^2=(-1)^2-1=0`

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

(d) `p(x)=(x+1)(x-2)`: `x=-1, 2`

उत्तर: `p(-1)=(-1+1)(-1-2)=0`

`p(2)=(2+1)(2-2)=0`

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

(e) `p(x)=x^2`, `x=0`

उत्तर: `0^2=0`

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

(f) `p(x)=lx+m`: `x=-m/l`

उत्तर: `lx+m=l\xx\(-m/l)+m`

`=-m+m=0`

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

(g) `p(x)=3x^2-1`: `x=-1/(sqrt3)`, `2/(sqrt3)`

उत्तर: `p(-1/(sqrt3))=3xx(-1/(sqrt3))^2-1`

`=3xx1/3-1=1-1=0`

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

`p(2/(sqrt3)^2)=3xx(2/(sqrt3))^2-1`

`=3xx4/3-1=4-1=3`

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य नहीं होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक नहीं है।

(h) `p(x)=2x+1`: `x=1/2`

उत्तर: `2xx1/2+1=1+1=2`

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य नहीं होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक नहीं है।

प्रश्न 4: निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए:

(a) `p(x)=x+5`

उत्तर: `x+5=0`

`x=-5`

(b) `p(x)=x-5`

उत्तर: `x-5=0`

`x=5`

(c) `p(x)=2x+5`

उत्तर: `2x+5=0`

`2x=-5`

`x=-5/2`

(d) `p(x)=3x-2`

उत्तर: `3x-2=0`

`3x=2`

`x=2/3`

(e) `p(x)=3x`

उत्तर: `3x=0`

`x=0`

(f) `p(x)=cx+d`: `c≠0` c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।

उत्तर: `cx+d=0`

`cx=-d`

`x=-d/c`


अभ्यास 2.3

प्रश्न 1: `x^3+3x^2+3x+1` को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए:

(a) `x+1`

उत्तर:

algebra long division

(b) `x-1/2`

उत्तर:

algebra long division

(c) `x`

उत्तर:

algebra long division

(d) `x+π`

उत्तर:

algebra long division

(e) `5+2x`

उत्तर:

algebra long division

प्रश्न 2: `x^3-ax^2+6x-a` को `x-a` से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

algebra long division

प्रश्न 3: जाँच कीजिए कि `7+3x`, `3x^3+7x` का एक गुणनखंड है या नहीं।

उत्तर:

algebra long division

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