आयतन
अभ्यास 13.5
घन और घनाभ
प्रश्न 1: माचिस की डिब्बी के माप 4 सेमी × 2.5 सेमी × 1.5 सेमी हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?
उत्तर: दिया गया है: `l = 4` cm, `b = 2.5` cm और `h = 1.5` cm
घनाभ का आयतन `=l\xx\b\xx\h`
`=4xx2.5xx1.5=15` घन सेमी
प्रश्न 2: एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 मी लंबी, 4 मी चौड़ी और 4.5 मी गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है। (1 घन मी = 1000 ली)
उत्तर: दिया गया है: `l = 6` m, `b = 5` m, `h = 4.5` m
घनाभ का आयतन `=l\xx\b\xx\h`
`=6xx5xx4.5=135` घन मी
चूँकि 1 घन मी = 1000 लीटर
इसलिए, 135 घन मी = 135000 लीटर
प्रश्न 3: एक घनाभाकार बर्तन 10 मी लंबा और 8 मी चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मी द्रव आ सके?
उत्तर: दिया गया है: `l=10` m, `b=8` m, आयतन = 380 घन मी, h = ?
घनाभ का आयतन `=l\xx\b\xx\h`
या, `380=10xx8xxh`
या, `h=(380)/8=4.75` m
प्रश्न 4: 8 मी लंबा, 6 मी चौड़ा और 3 मी गहरा एक घनाभाकार गड्ढ़ा खुदवाने में 30 रु प्रति घन मी की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिया गया है: `l= 8` m, `b=6` m, `h=3` m
घनाभ का आयतन `=l\xx\b\xx\h`
`=8xx6xx3=144` घन मी
खर्च = आयतन × दर
`=144xx30` = रु 4320
प्रश्न 5: एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लंबाई और गहराई क्रमश: 2.5 मी और 10 मी हैं, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिया गया है: आयतन = 50000 लीटर = 50 घन मी, `l=2.5` m, `h=10` m, b =?
घनाभ का आयतन `=l\xx\b\xx\h`
या, `50=2.5xx10xx\b`
या, `b=(50)/(25)=2` मी
प्रश्न 6: एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 मी × 15 मी × 6 मी मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?
उत्तर: दिया गया है: `l=20` m, `b=15` m, `h=6` m, गाँव की जनसंख्या = 4000
प्रतिदिन प्रतिव्यक्ति पानी की आवश्यकता = 150 ली
पूरे गाँव की प्रतिदिन पानी कि आवश्यकता `=4000xx150=600000` ली = 600 घन मी
टंकी का आयतन `=l\xx\b\xx\h`
`=20xx15xx6=1800` घन मी
चूँकि `(1800)/(600)=3`
इसलिए, एक टंकी भर पानी 3 दिनों तक चलेगा।
प्रश्न 7: किसी गोदाम की माप 40 मी × 25 मी × 15 मी है। इस गोदाम में 15 मी × 1.25 मी × 0.5 मी की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट रखे जा सकते हैं?
उत्तर: दिया गया है: `l=40` m, `b=25` m, `h=10` m
क्रेट की विमाएँ: `l=1.5` m, `b=1.25` m, `h=0.5` m
गोदाम में अधिकतम क्रेट की संख्या = गोदाम का आयतन ÷ एक क्रेट का आयतन
`=(40xx25xx10)/(1.5xx1.25xx0.5)=10666.67`
प्रश्न 8: 12 सेमी भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की भुजा क्या होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिया गया है; भुजा = 12 cm
घन का आयतन = भुजा3
`=12^3=1728` घन सेमी
छोटे घन का आयतन `=(1728)/8=216`
छोटे घन की भुजा का मान इस तरह निकाला जा सकता है:
भुजा3 = 216 = 63
या, भुजा = 6 सेमी
प्रश्न 9: 3 मी गहरी और 40 मी चौड़ी एक नदी 2 किमी प्रति घंटा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
उत्तर: दिया गया है: `h=3` m, `b=40` m, नदी का प्रवाह = 2 किमी प्रति घंटा
1 मिनट में पानी का आयतन `=3xx40xx2000 xx1/(60)=4000` घन मी