आयतन

अभ्यास 13.6

बेलन

प्रश्न 1: एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 सेमी है और उसकी ऊँचाई 25 सेमी है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है? (1000 घन सेमी = 1 ली)

उत्तर: दिया गया है: परिधि = 132 cm, h = 25 cm

परिधि `=2πr`

या, `132=2πr`

या, `r= (132xx7)/(2xx22)=21` सेमी

बेलन का आयतन `=πr^2\h=(22)/7xx21^2\xx25`

= 34650 घन सेमी `=(34650)/(1000)` लीटर = 34.65 लीटर

प्रश्न 2: लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास 24 सेमी है और बाहरी व्यास 28 सेमी है। इस पाइप की लम्बाई 35 सेमी है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 घन सेमी लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।

उत्तर: दिया गया है: R = 14 cm, r = 12 cm, h = 35 cm

पाइप का आयतन `=πR^2\h–πr^2\h`

`=πh(R^2-r^2)`

`= (22)/7xx35(14^2-12^2)`

`=110 (14+12)(14–12)`

`=110xx26xx2=5720` घन सेमी

द्रव्यमान `=5720xx0.6=3432` ग्रा

प्रश्न 3: एक सॉफ्ट ड्रिंक दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है: (a) लम्बाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 सेमी है और (b) व्यास 7 सेमी वाले वृत्तीय आधार और 10 सेमी ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?

उत्तर: आयताकार डिब्बा: `l=5` cm, `b=4` cm, `h=15` cm

घनाभ का आयतन `=l\xx\b\xx\h`

`=5xx4xx15=300` घन सेमी

बेलनाकार डिब्बे का व्यास = 7 सेमी, ऊँचाई = 10 सेमी

बेलनाकार डिब्बे का आयतन `πr^2\h`

`=(22)/7xx3.5xx3.5xx10=380` घन सेमी

आयतन में अंतर = 380 – 300 = 80 घन सेमी

बेलनाकार डिब्बे का आयतन घनाभाकार डिब्बे के आयतन की तुलना में 80 घन सेमी अधिक है।

प्रश्न 4: यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 वर्ग सेमी है और उसकी ऊँचाई 5 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए (a) आधार की त्रिज्या (b) बेलन का आयतन (π = 3.14 लीजिए)‌

उत्तर: दिया गया है, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 94.2 वर्ग सेमी, h = 5 cm

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2πrh`

या, `94.2=2xx3.14xx\r\xx5`

या, `r=(94.2)/(2xx3.14xx5)=3` सेमी

अब बेलन का आयतन `=πr^2\h`

`=3.14xx3^2\xx5=141.30` घन सेमी

प्रश्न 5: 10 मी गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रु है। यदि पेंट कराने की दर 20 रु प्रति वर्ग मी है, तो ज्ञात कीजिए:

(a) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(b) आधार की त्रिज्या

उत्तर: खर्च = रु 2200, दर = रु 20 प्रति वर्ग मी, h = 10 मी

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = खर्च ÷ दर

`=(2200)/(20)=110` वर्ग सेमी

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2πr\h`

या, `110=2xx(22)/7xx\r\xx10`

या, `r=(110xx7)/(2xx22xx10)=1.75` सेमी

बेलन का आयतन `=πr^2\ h`

`= (22)/7xx1.75^2xx10=96.25` घन सेमी

प्रश्न 6: ऊँचाई 1 मी वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?

उत्तर: धारिता = 15.4 लीटर = 15400 घन सेमी, h = 1 मी = 100 सेमी

बेलन का आयतन `=πr^2\ h`

या, `15400= (22)/7xx\r^2xx100`

या, `r^2=(15400xx7)/(22xx100)=49`

या, `r=7` सेमी

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2πr(r+h)`

`=2xx(22)/7xx7(7+10)`

`=2xx22xx17=748` वर्ग सेमी

प्रश्न 7: सीसे की एक पेंसिल लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 मिमी है और ग्रेफाइट का व्यास 1 मिमी है। यदि पेंसिल की लंबाई 14 सेमी है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पेंसिल की त्रिज्या = 3.5 मिमी, h = 14 सेमी = 140 मिमी

पेंसिल का आयतन `=πr^2\h`

`=(22)/7xx3.5^2xx140=5390` घन मिमी

सीसे की त्रिज्या = 0.5 मिमी, h = 140 मिमी

सीसे का आयतन `=πr^2\h`

`=(22)/7xx0.5^2xx140=110` घन मिमी

इसलिए लकड़ी का आयतन = 5390 – 110 = 5280 घन मिमी

प्रश्न 8: एक अस्पताल के एक रोगी को प्रतिदिन 7 सेमी व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 सेमी ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?

उत्तर: दिया गया है: r = 3.5 cm, h = 4 cm

बेलन का आयतन `=πr^2\h`

`=(22)/7xx3.5^2xx4=154` घन सेमी

250 कटोरे का आयतन `=250xx154=38500` घन सेमी = 38.5 लीटर