वृत्त

अभ्यास 10.1

खाली स्थान भरिए:

1. वृत्त का केंद्र वृत्त के .................में स्थित है (बहिर्भाग/अभ्यंतर)
2. एक बिंदु, जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के ....................में स्थित होता है। (बहिर्भाग/अभ्यंतर)
3. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का ...............होता है।
4. एक चाप .................होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे होते हैं।
5. वृत्तखंड एक चाप तथा ....................के बीच का भाग होता है।
6. एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे ...................भागों में विभाजित करता है।

उत्तर: (a) अभ्यंतर, (b) बहिर्भाग, (c) व्यास, (d) अर्धवृत्त, (e) जीवा, (f) तीन

लिखिए, सत्य या असत्य। अपने उत्तर के कारण दीजिए।

(a) केंद्र को वृत्त पर किसी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।

उत्तर: सत्य, क्योंकि केंद्र और वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु के बीच की दूरी त्रिज्या होती है।

(b) एक वृत्त में समान लंबाई की परिमित जीवाएँ होती हैं।

उत्तर: असत्य, क्योंकि एक वृत्त में समान लंबाई की अपरिमित जीवाएँ हो सकती हैं।

(c) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बाँट दिया जाए, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है।

उत्तर: असत्य, क्योंकि एक दीर्घ चाप हमेशा लघु चाप से बड़ा होता है, और दोनों कभी भी बराबर नहीं हो सकते।

(d) वृत्त की एक जीवा, जिसकी लम्बाई त्रिज्या से दो गुनी, वृत्त का व्यास है।

उत्तर: सत्य, क्योंकि वृत्त का व्यास ही उसकी सबसे बड़ी जीवा होता है।

(e) त्रिज्यखंड, जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।

उत्तर: असत्य, जीवा एवं संगत चाप के बीच के क्षेत्र को वृत्तखंड कहते हैं।

(f) वृत्त एक समतल आकृति है।

उत्तर: सत्य

अभ्यास 10.2

प्रश्न 1: याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

उत्तर: प्रमेय के अनुसार, वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं। इसलिए दो सर्वांगसम वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।

प्रश्न 2: सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।

उत्तर: यह प्रश्न पिछले प्रश्न की ही तरह है। प्रमेय के अनुसार, यदि तो जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं तो जीवाएँ बराबर होंगी। इसलिए यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं तो जीवाएँ बराबर होती हैं।

अभ्यास 10.3

प्रश्न 1: वृत्तों के कई जोड़े खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिंदु उभयनिष्ठ हैं? उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या क्या है?

उत्तर: दो वृत्तों में उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या 2 होती है। इसलिए यह 0, 1 या 2 हो सकती है।

प्रश्न 2: मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केंद्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि एक चाप PQ है।

अब इस चाप पर एक बिंदु R लेते हैं। फिर PR और PQ को मिलाते हैं। अब PR और PQ के लम्ब समद्विभाजक खींचते हैं। आप देखेंगे कि जीवाएँ PR और PQ के लम्ब समद्विभाजक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अब O को केंद्र तथा OR को त्रिज्या मानते हुए के वृत्त खींचिए। आप देखेंगे कि यह वृत्त P, R और Q से होकर गुजरता है।

इससे यह भी सिद्ध होता है कि किसी भी तीन ऐसे बिंदुओं से (जो एक सरल रेखा में नहीं हैं) होकर एक और केवल एक वृत्त खींचा जा सकता है।

प्रश्न 3: यदि दो वृत्त परस्पर दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित हैं।

उत्तर: दो वृत्त A और B बिंदुओं पर आपस में काटते हैं।

सिद्ध करना है: AM = MB

∠AMO = ∠BMO = 90°

त्रिभुज AMO और BMO में

AO = BO (एक वृत्त की त्रिज्या)

OM = OM (साझा भुजा)

इसलिए, SSS प्रमेय के अनुसार ΔAMO ≅ ΔBMO

इसलिए, AM = MB सिद्ध हुआ

इसलिए, ∠AMO = ∠BMO = 90° सिद्ध हुआ

इससे यह सिद्ध होता है कि जब दो वृत्त आपस में दो बिंदुओं पर काटते हैं तो उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं।