यूक्लिड की ज्यामिति

कुछ परिभाषाएँ:

• एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता है।
• एक रेखा चौड़ाई रहित लम्बाई होती है।
• एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं।
• एक सीधी रेखा ऐसी रेखा है जो स्वयं पर बिंदुओं के साथ सपाट रूप से स्थित होती है।
• एक पृष्ठ वह है जिसकी केवल लम्बाई और चौड़ाई होती है।
• पृष्ठ के किनारे रेखाएँ होती हैं।
• एक समतल पृष्ठ ऐसा पृष्ठ है जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ सपाट रूप से स्थित होता है।

यूक्लिड के कुछ अभिगृहीत:

• वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों एक दूसरे के बराबर होती हैं।
• यदि बराबरों को बराबरों से जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
• यदि बराबरों को बराबरों से घटाया जाए, तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
• वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों, एक दूसरे के बराबर होती हैं।
• पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
• एक ही वस्तुओं के दुगुने परस्पर बराबर होते हैं।
• एक ही वस्तुओं के आधे परस्पर बराबर होते हैं।

1. अभिधारणा 1: एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
2. अभिगृहीत 1: दिए हुए दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।
3. अभिधारणा 2: एक सांत रेखा (terminated line) को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
4. अभिधारणा 3: किसी को केंद्र मान कर और किसी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है।
5. अभिधारणा 4: सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
6. अभिधारणा 5: यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिर कर अपने एक ही ओर दो अंत:कोण इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग मिल कर दो समकोणों से कम हो, तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती है जिस ओर यह योग दो समकोणों से कम होता है।

अभिधारणा 5 का समतुल्य रूपांतरण:
प्लेफेयर का अभिगृहीत

प्रत्येक रेखा l और उस पर न स्थित प्रत्येक बिंदु P के लिए, एक अद्वितीय रेखा m ऐसी होती है जो P से होकर जाती है और l के समांतर है।

अभ्यास 5.1

प्रश्न 1: निम्नलिखित कथनों में से कौन से कथन सत्य हैं और कौन से कथन असत्य हैं? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए:

(a) एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।

उत्तर: असत्य

हम जानते हैं कि किसी भी पृष्ठ पर अनेक बिंदु हो सकते हैं, (जैसे कि A, B, C, D और E)। पहली अभिधारणा के अनुसार, किन्हीं दो बिंदुओं से होकर एक रेखा खींची जा सकती है।

जैसा कि इस चित्र से स्पष्ट है, बिंदु A से शुरु करते हुए कई रेखाएँ खींची जा सकती हैं जैसे कि AB, AC, AD और AE

(b) दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।

उत्तर: असत्य

एक पन्ने पर दो बिंदु A और B बनाएँ। अब पन्ने को इस तरह से मोड़ें कि बिंदु A से होकर एक क्रीज पड़ जाए। हम जानते हैं कि एक बिंदु से होकर असंख्य रेखाएँ गुजरती हैं। इसलिए बिंदु से होकर ऐसी अनेक रेखाएँ हो सकती हैं।

अब पन्ने को इस तरह मोड़ें कि बिंदु B से होकर एक क्रीज पड़ जाए। अब पन्ने को इस तरह से मोड़ें कि बिंदु A और B से होकर एक क्रीज पड़ जाए। हम देखते हैं कि ऐसी एक ही क्रीज संभव है। यानि दो दिए गए बिंदुओं से होकर केवल एक रेखा खींची जा सकती है।

(c) एक सांत रेखा दोनों और अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।

उत्तर: सत्य

हम जानते हैं कि एक रेखा अनिश्चित लम्बाई की होती है और किसी पन्ने पर हम इसका केवल एक अंश दिखा सकते हैं।

(d) यदि दो वृत्त बराबर हैं, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।

उत्तर: सत्य

यदि दो बराबर वृत्तों में से एक को दूसरे के ऊपर रखा जाए तो वे एक दूसरे को पूरी तरह ढ़क लेते हैं। ऐसा करने पर उनके केंद्र और परिधि संगत होते हैं। इससे यह सिद्ध होता है कि दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।

(e) दी गई आकृति में यदि AB = PQ और PQ =XY है, तो AB = XY होगा।

उत्तर: सत्य

क्योंकि, वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों एक दूसरे के बराबर होती हैं।