समांतर चतुर्भुज

अभ्यास 1

प्रश्न 1: निम्नलिखित आकृतियों में से कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समांतर रेखाएँ लिखिए।

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उत्तर: (i) ABCD और PDC, (iii) PQRS और TQR (iv) ABCD और PQR. (v) ABCD और APCD, (vi) PQRS, PADS, ABCD और BQRC


अभ्यास 2

प्रश्न 1: इस आकृति में ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB =16 cm, AE = 8 cm और CF = 10 cm है, तो AD ज्ञात कीजिए।

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उत्तर: दिया गया है; AB = 16 cm, AE = 8 cm और CF = 10 cm

AB = DC = 16 cm (क्योंकि AD||BC)

Area (ABCD) = Height `xx` Base

`=AE\xx\DC=8xx16=128` sq cm

Area (ABCD) = CF `xx` AD

या, `10xx\AD=128` sq cm

या, AD = `(128)/(10)=12.8` cm

प्रश्न 2: यदि E, F, G और H क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं, तो दर्शाइए कि ar(EFGH) = `1/2` ar (ABCD) है।

उत्तर: इस आकृति में एक समांतर चतुर्भुज ABCD है जिसमें E, F, G और H इसकी भुजाओं के मध्य बिंदु हैं। समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई AM है। ΔEFH की ऊँचाई EO है, और ΔFGH की ऊँचाई GN है।

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EO = GN = `1/2` AM (क्योंकि AD और BC के मध्य बिंदुओं को छूती है।)

Area (ABCD) = Height `xx` Base = AM `xx` DC ………………(1)

Area (EFGH) = ar(ΔEFH) + ar(ΔFGH)

`=1/2xx` Height × Base + `1/2xx` Height × Base

`= 1/2xx\EO\xx\HF+1/2xx\GN\xx\HF`

`=1/2(EO\xxHF+GN\xx\HF)`

`=1/2(EO\xx\HF+EO\xx\HF)` [क्योंकि EO = GN)

`=1/2xx2xx(EO\xx\HF)=EOxx\HF` ………………(2)

चूँकि `EO=1/2AM`

और HF = DC

समीकरण (1) और (2) से यह साफ है कि ar(EFGH) = `1/2`ar(ABCD) सिद्ध हुआ

प्रश्न 3: P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित मध्य बिंदु हैं। दर्शाइए कि ar(APB) = ar(BQC) है।

उत्तर: मान लीजिए कि आधार AB के लिए ऊँचाई h1 है और आधार BC के लिए ऊँचाई h2 है।

Area (ABCD) `=h1xx\AB=h2xx\BC`

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Area(ΔAPB) `=1/2xx\h_1xx\AB`

Area(ΔBQC) `=1/2xx\h_2xx\BC`

ऊपर के समीकरणों से यह सिद्ध होता है कि ar(ΔAPB) = ar(ΔBQC)


प्रश्न 4: इस आकृति में P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि

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  1. ar(APB) + ar(PCD) = `1/2` ar(ABCD)
  2. ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)

(संकेत: P से होकर AB के समांतर एक रेखा खींचिए।)

उत्तर: बिंदु P से गुजरने वाली रेखा MN||AB खींचिए। अब मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज ABNM की ऊँचाई h1 है, MNCD की ऊँचाई h2 है तथा ABCD की ऊँचाई h है।.

सभी समांतर चतुर्भुजों आ आधार होगा AB

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ar(ABCD) = ar(ABNM) + ar(MNCD)

ar(ΔAPB) = `1/2` ar(ABNM)

ar(ΔPCD) = `1/2` ar(MNCD)

क्योंकि एक ही आधार पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल उस आधार पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

इसलिए, ar(ΔAPB) + ar(ΔPCD) = `1/2` ar(ABCD)

इसी तरह, ar(ΔAPD) + ar(ΔPBC) = `1/2` ar(ABCD) को भी सिद्ध किया जा सकता है।

इससे पता चलता है कि ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)

प्रश्न 5: इस आकृति में PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि

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  1. ar(PQRS) = ar(ABRS)
  2. ar(AXS) = `1/2` ar(PQRS)

उत्तर: हम जानते हैं कि एक ही आधार और एक ही ऊँचाई वाले समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।

इसलिए, ar(PQRS) = ar(ABRS)

हम यह भी जानते हैं कि उसी आधार और ऊँचाई पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

इसलिए, ar(AXS) = `1/2` ar(PQRS)

प्रश्न 6: एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप में एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिंदु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहती है। वह ऐसा कैसे करे?

उत्तर: इस आकृति में उस खेत के विभाजन को दिखाया गया है। खेत को तीन भागों में बाँटा गया है। हर भाग त्रिभुज के आकार का है।

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Area(ΔPQA) = `1/2` ar(PQRS)

इसका मतलब है कि बाकी के दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग = ar(ΔPQA)

किसान त्रिभुज PQA में गेहूँ की खेती कर सकता है और बाकी के त्रिभुजों में दाल की



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