समांतर चतुर्भुज
अभ्यास 3
Part 1
प्रश्न 1: इस आकृति में ΔABC की एक माध्यिका AD पर स्थित कोई बिंदु E है। दर्शाइए कि Δ(ABE) = ar(ACE) है।
उत्तर: माध्यिका किसी भी त्रिभुज को दो समान त्रिभुजों में बाँटती है।
इसलिए, ar(ABD) = ar(ACD)
इसी तरह, ar(BED) = ar(DEC)
यदि हम ΔBEC को हटाते हैं, यानि ΔBED + ΔDEC को हटाते हैं तो
ar(ABE) = ar(ACE) सिद्ध हुआ
प्रश्न 2: ΔABC में E माध्यिका AD का मध्य बिंदु है। दर्शाइए कि ar(BED) = `1/4`है।
उत्तर: ΔBEC की माध्यिका ED है।
इसलिए, ar(BED) = ar(CED)
साथ में, ar(BEC) = `1/2` ar(ABC)
इन समीकरणों से यह साफ है कि ar(BED) = `1/4` ar(ABC)
प्रश्न 3: दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
उत्तर: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O काटते हैं।
सिद्ध करना है: ar(AOB) = ar(AOC) = ar(BOC) = ar(AOD)
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के समद्विभाजक होते हैं। इसलिए AD और BC के मध्य बिंदु M और N हैं।
इसका मतलब है: ar(ABNM) = ar(MNCD) = `1/2` ar(ABCD)
ar(ABO) = `1/2` ar(ABNM)
(क्योंकि समान आधार पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल उस आधार पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
इसी तरह, ar(DOC) = `1/2` ar(MNCD)
यानि; ar(ABO) = ar(DOC) = `1/4` ar(ABCD)
इसी प्रकार निम्नलिखित को सिद्ध किया जा सकता है:
ar(AOD) = ar(BON) = `1/4` ar(ABCD)
इसलिए, ar(AOB) = ar(BOC) = ar(DOC) = ar(AOD) = `1/4` ar(ABCD)
प्रश्न 4: इस आकृति में ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से O बिंदु पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar(ABC) = ar(ABD) है।
उत्तर: चूँकि CD को AO और BO समद्विभाजित करते हैं इसलिए ये क्रमश: ACD और BCD की माध्यिका हैं।
इसलिए, ar(AOC) = ar(AOD)
इसी प्रकार, ar(COB) = ar(DOB)
इसलिए, ar(AOC) + ar(COB) = ar(AOD) + ar(DOB)
या, ar(ABC) = ar(ABD) सिद्ध हुआ
प्रश्न 5: D, E और F क्रमश: त्रिभुज की भुजाओं और के मध्य बिंदु हैं। दर्शाइए कि
- BDEF एक समांतर चतुर्भुज है
- ar(DEF) = `1/4` ar(ABC)
- ar(BDEf) = `1/2` ar(ABC)
उत्तर:
मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार: BD||EF
BD = `1/2` BC (क्योंकि D मध्य बिंदु है।)
इसलिए, EF = BD
चूँकि EF = BD
इसलिए, BDFE एक समांतर चतुर्भुज है।
इसी तरह यह सिद्ध किया जा सकता है कि EFDC और AEDF समांतर चतुर्भुज हैं।
चूँकि BD = CD = EF
इसलिए, ar(BDFE) = ar(EFDC)
त्रिभुज BED और EFD में:
BD = EF
DE = DE
इसलिए SSS प्रमेय के अनुसार:
ΔBDE ≅ ΔEFD
इसी प्रकार यह सिद्ध किया जा सकता है कि ΔEFD ≅ ΔCDF
इसी प्रकार यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि ΔEFD ≅ ΔFEA
इसलिए, ΔBDE ≅ ΔEFD ≅ ΔCDF ≅ ΔFEA
इसलिए, ar(DEF) = `1/4` ar(ABC)
चूँकि समांतर चतुर्भुज BDFE दो त्रिभुजों से मिलकर बना है।
इसलिए, ar(BDFE) = `1/2` ar(ABC) सिद्ध हुआ।