रैखिक समीकरण

अभ्यास 4.1

प्रश्न 1: एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए।

उत्तर: यदि कलम की कीमत p है और नोटबुक की कीमत n है, तो

`n=2p`

प्रश्न 2: निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को `ax+by+c=0` के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान बताइए:

(a) `2x+3y=9.35`

उत्तर: `2x+3y-9.35=0`

`a=2`, `b=3`, `c=-9.35`

(b) `x-y/5-10=0`

उत्तर: `x-y/5-10=0`

या, `(5x-y-50)/(5)=0`

या, `5x-y-50=5xx0`

या, `5x-y-50=0`

`a=5`, `b=-1`, `c=-50`


(c) `-2x+3y=6`

उत्तर: `-2x+3y-6=0`

या, `2x-3y+6=0`

`a=2`,`b=-3`, `c=6`

(d) `x=3y`

उत्तर: `x-3y=0`

`a=1`, `b=3`, `c=0`

(e) `2x=-5y`

उत्तर: `2x+5y=0`

`a=2`, `b=5`, `c=0`

(f) `3x+2=0`

उत्तर: `3x+2=0`

`a=0`, `b=0`, `c=2`

(g) `y-2=0`

उत्तर: `y-2=0`

`a=0`, `b=1`, `c=-2`

(h) `5=2x`

उत्तर: `2x-5=0`

`a=2`, `b=0`, `c=-5`

अभ्यास 4.2

प्रश्न 1: निम्नलिखित विकल्पों में कौन सा विकल्प सत्य है, और क्यों?

`y=3x+5` का

  1. एक अद्वितीय हल है
  2. केवल दो हल हैं
  3. अपरिमित रूप से अनेक हल हैं

उत्तर: (c) अपरिमित रूप से अनेक हैं

क्योंकि, दो चर वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं, और दिया गया समीकरण दो चर वाला रैखिक समीकरण है।

प्रश्न 2: निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए:

(a) `2x+y=7`

उत्तर: `2x+y=7`

`2x=7-y`

या, `x=(7-y)/2`

यदि, `y=1`

`x=(7-1)/2=6/2=3`

यदि, `y=2`

`x=(7-2)/2=5/2=2.5`

यदि, `y=3`

`x=(7-3)/2=4/2=2`

यदि, `y=4`

`x=(7-4)/2=3/2=1.5`

इसलिए दिये गए समीकरण के 4 संभावित हल हैं: (1.5, 4), (2, 3), (2.5, 2) और (3, 1)

(b) `πx+y=9`

उत्तर: `πx+y=9`

या, `y=9-πx`

यदि `x=-1`

`y=9+3.14xx1=9+3.14=12.14`

या, `x=0`

`y=9-0=9`

यदि, `x=1`

`y=9-3.14xx1=9-3.14=5.86`

या, `x=2`

`y=9-3.14xx2=9-6.28=2.72`

दिए गए समीकरण के चार संभावित हल हैं: (-1, 12.14), (0, 9), (1, 5.86) और (2, 2.72)

(c) `x=4y`

उत्तर: `x=4y`

यदि `y=0`

`x=4xx0=0`

यदि `y=1`

`x=4xx1=4`

यदि `y=2`

`x=4xx2=8`

यदि `y=3`

`x=4xx3=12`

दिए गए समीकरण के चार संभावित हल हैं: (0, 0), (4, 1), (8, 2) और (12, 3)


प्रश्न 3: बताइए कि निम्नलिखित हलों में कौन-कौन समीकरण `x-2y=4` के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं हैं:

  1. (0, 2)
  2. (2, 0)
  3. (4, 0)
  4. (`sqrt2`, `4sqrt2`)
  5. (1, 1)

उत्तर: सबसे पहले विकल्प (a) की जाँच करते हैं:

`x-2y=4`

0-2xx2=-4≠4`

इसलिए यह दिए गए समीकरण का हल नहीं है।

अब विकल्प (b) की जाँच करते हैं:

`2-2xx0=2≠4`

अब विकल्प (c) की जाँच करते हैं:

`x-2y=4`

`4-2xx0=4`

यह दिए गए समीकरण का हल है।

अब विकल्प (d) की जाँच करते हैं:

`sqrt2-2xx4sqrt2=sqrt2(1-8)=-7sqrt2≠4`

अब विकल्प (e) की जाँच करते हैं:

`1-2xx1=1-2=-1≠4`

इसलिए विकल्प (c) दिए गए समीकरण का हल है।

प्रश्न 4: k का मान ज्ञात कीजिए जवकि `x=2`, `y=1` समीकरण `2x+3y=k` का एक हल हो।

उत्तर: समीकरण में x और y के मान रखने पर:

`2x+3y=k`

या, `2xx2+3xx1=k`

या, `=4+3=7=k`

या, `k=7`



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