रैखिक समीकरण
अभ्यास 4.1
प्रश्न 1: एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए।
उत्तर: यदि कलम की कीमत p है और नोटबुक की कीमत n है, तो
`n=2p`
प्रश्न 2: निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को `ax+by+c=0` के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान बताइए:
(a) `2x+3y=9.35`
उत्तर: `2x+3y-9.35=0`
`a=2`, `b=3`, `c=-9.35`
(b) `x-y/5-10=0`
उत्तर: `x-y/5-10=0`
या, `(5x-y-50)/(5)=0`
या, `5x-y-50=5xx0`
या, `5x-y-50=0`
`a=5`, `b=-1`, `c=-50`
(c) `-2x+3y=6`
उत्तर: `-2x+3y-6=0`
या, `2x-3y+6=0`
`a=2`,`b=-3`, `c=6`
(d) `x=3y`
उत्तर: `x-3y=0`
`a=1`, `b=3`, `c=0`
(e) `2x=-5y`
उत्तर: `2x+5y=0`
`a=2`, `b=5`, `c=0`
(f) `3x+2=0`
उत्तर: `3x+2=0`
`a=0`, `b=0`, `c=2`
(g) `y-2=0`
उत्तर: `y-2=0`
`a=0`, `b=1`, `c=-2`
(h) `5=2x`
उत्तर: `2x-5=0`
`a=2`, `b=0`, `c=-5`
अभ्यास 4.2
प्रश्न 1: निम्नलिखित विकल्पों में कौन सा विकल्प सत्य है, और क्यों?
`y=3x+5` का
- एक अद्वितीय हल है
- केवल दो हल हैं
- अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
उत्तर: (c) अपरिमित रूप से अनेक हैं
क्योंकि, दो चर वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं, और दिया गया समीकरण दो चर वाला रैखिक समीकरण है।
प्रश्न 2: निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए:
(a) `2x+y=7`
उत्तर: `2x+y=7`
`2x=7-y`
या, `x=(7-y)/2`
यदि, `y=1`
`x=(7-1)/2=6/2=3`
यदि, `y=2`
`x=(7-2)/2=5/2=2.5`
यदि, `y=3`
`x=(7-3)/2=4/2=2`
यदि, `y=4`
`x=(7-4)/2=3/2=1.5`
इसलिए दिये गए समीकरण के 4 संभावित हल हैं: (1.5, 4), (2, 3), (2.5, 2) और (3, 1)
(b) `πx+y=9`
उत्तर: `πx+y=9`
या, `y=9-πx`
यदि `x=-1`
`y=9+3.14xx1=9+3.14=12.14`
या, `x=0`
`y=9-0=9`
यदि, `x=1`
`y=9-3.14xx1=9-3.14=5.86`
या, `x=2`
`y=9-3.14xx2=9-6.28=2.72`
दिए गए समीकरण के चार संभावित हल हैं: (-1, 12.14), (0, 9), (1, 5.86) और (2, 2.72)
(c) `x=4y`
उत्तर: `x=4y`
यदि `y=0`
`x=4xx0=0`
यदि `y=1`
`x=4xx1=4`
यदि `y=2`
`x=4xx2=8`
यदि `y=3`
`x=4xx3=12`
दिए गए समीकरण के चार संभावित हल हैं: (0, 0), (4, 1), (8, 2) और (12, 3)
प्रश्न 3: बताइए कि निम्नलिखित हलों में कौन-कौन समीकरण `x-2y=4` के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं हैं:
- (0, 2)
- (2, 0)
- (4, 0)
- (`sqrt2`, `4sqrt2`)
- (1, 1)
उत्तर: सबसे पहले विकल्प (a) की जाँच करते हैं:
`x-2y=4`
0-2xx2=-4≠4`
इसलिए यह दिए गए समीकरण का हल नहीं है।
अब विकल्प (b) की जाँच करते हैं:
`2-2xx0=2≠4`
अब विकल्प (c) की जाँच करते हैं:
`x-2y=4`
`4-2xx0=4`
यह दिए गए समीकरण का हल है।
अब विकल्प (d) की जाँच करते हैं:
`sqrt2-2xx4sqrt2=sqrt2(1-8)=-7sqrt2≠4`
अब विकल्प (e) की जाँच करते हैं:
`1-2xx1=1-2=-1≠4`
इसलिए विकल्प (c) दिए गए समीकरण का हल है।
प्रश्न 4: k का मान ज्ञात कीजिए जवकि `x=2`, `y=1` समीकरण `2x+3y=k` का एक हल हो।
उत्तर: समीकरण में x और y के मान रखने पर:
`2x+3y=k`
या, `2xx2+3xx1=k`
या, `=4+3=7=k`
या, `k=7`