पृष्ठीय क्षेत्रफल
अभ्यास 13.1
प्रश्न 1: 1.5 मी लंबा, 1.25 मी चौड़ा और 65 सेमी गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए, निर्धारित कीजिए:
- डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल
- इस शीट का मूल्य, यदि 1 वर्ग मी शीट का मूल्य 20 रु है।
उत्तर: लम्बाई = 1.5 m, चौड़ाई = 1.25 m, ऊँचाई = 0.65 m
आधार का क्षेत्रफल `= lxxb = 1.5xx1.25 = 1.875` sq m
चार दीवारों का क्षेत्रफल `=2h(l + b)=2xx0.65(1.5 + 1.25)`
`=1.3xx2.75 = 3.575` sq m
कुल क्षेत्रफल `= 1.875 + 3.575 = 5.45` sq m
खर्च = दर `xx` क्षेत्रफल `=20xx5.45` = रु 109
प्रश्न 2: एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 5 मी, 4 मी और 3 मी है। 7.50 रु प्रति वर्ग मी की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
उत्तर: लम्बाई = 5m , चौड़ाई = 4m, ऊँचाई = 3 m, दर = रु 7.50 प्रति sq m
छत का क्षेत्रफल `=l\xx\b=5xx4=20` sq m
चार दीवारों का क्षेत्रफल `=2h(l+b)=2xx3(5+4)`
`=6xx9=54` sq m
कुल क्षेत्रफल `=20+54=74` sq m
खर्च = दर `xx` क्षेत्रफल `=7.50xx74` = रु 555
प्रश्न 3: किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मी है। यदि 10 रु प्रति वर्ग मी की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15000 रु है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: परिमाप = 250 m, दर = रु 10 प्रति sq m, खर्च = रु 15000, ऊँचाई = ?
क्षेत्रफल = खर्च ÷ दर
`=(15000)/(10)=1500` sq m
चार दीवारों का क्षेत्रफल = ऊँचाई `xx` परिमाप
या, `1500=h\xx250`
या, `h=(1500)/(250)=6` m
प्रश्न 4: किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 वर्ग मी के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 सेमी × 10 सेमी × 7.5 सेमी विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती है?
उत्तर: लम्बाई = 22.5 cm, चौड़ाई = 10 cm, ऊँचाई = 7.5 cm,
कुल क्षेत्रफल = 9.375 sq m = 93750 sq cm
ईंट का पृष्ठ क्षेत्रफल `=2(lb+bh+lh)`
`=2(22.5xx10+10xx7.5+22.5xx7.5)`
`=2(225+75+168.75)`
`=2xx468.75=937.50` sq cm
इसलिए, ईंटों की संख्या `=(93750)/(937.50)=100`
प्रश्न 5: एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 सेमी लंबाई का है तथा एक अन्य घनाभकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 12.5 सेमी, 10 सेमी और 8 सेमी है।
(a) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
उत्तर: घन की भुजा = 10 cm, घनाभ के लिए: लम्बाई = 12.5 cm, चौड़ाई = 10 cm, ऊँचाई = 8 cm
घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × भुजा2
`=4xx10^2`= 400 sq cm
घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2h(l+b)`
`=2xx8(12.5+10)`
`=16xx22.5=360` sq cm
अंतर = 400 – 360 = 40 sq cm
इसलिए, घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और घनाभ की तुलना में 40 वर्ग सेमी अधिक है।
(b) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्र कम है और कितना कम है?
उत्तर: घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × भुजा2
`=6xx10^2=600` sq cm
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2(lb+bh+lh)`
`=2(12.5xx10+10xx8+12.5xx8)`
`=2(125+80+100)`
`=2xx305=610` sq cm
अंतर = 610 – 60 = 10 sq cm
इसलिए, घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और यह घनाभ की तुलना में 10 वर्ग सेमी कम है।
प्रश्न 6: एक छोटा पौधा घर सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अंदर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 सेमी लंबा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा है।
(a) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?
उत्तर: लम्बाई = 30 cm, चौड़ाई = 25 cm, ऊँचाई = 25 cm
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2(lb+bh+lh)`
`=2(30xx25+25xx25+30xx25)`
`=2(750+625+750)`
`=2xx2125=4250` sq cm
(b) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?
उत्तर: हर प्रकार के किनारे की संख्या 4 है।
इसलिए, किनारों की कुल लम्बाई `=4(l+b+h)`
`=4(25+30+25)`
`=4xx80=320` cm
प्रश्न 7: शांति स्वीट स्टॉल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप 25 सेमी × 20 सेमी × 5 सेमी और छोटे डिब्बों की माप 15 सेमी × 12 सेमी × 5 सेमी थी। सभी प्रकार की अतिव्यापिकता (ओवरलैप) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत 4 रु प्रति 1000 वर्ग सेमी है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी?
उत्तर: बड़े डिब्बे की विमाएँ: लम्बाई = 25 cm, चौड़ाई = 20 cm, ऊँचाई = 5 cm
बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2(lb+bh+lh)`
`= 2(25xx20+20xx5+25xx5)`
`=2(500+100+125)`
`=2xx725=1450` sq cm
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का 5% `=1450xx5%=72.5` sq cm
इसलिए जरूरी कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल `=1450+72.5=1522.75` sq cm
छोटे डिब्बे की विमाएँ: लम्बाई = 15 cm, चौड़ाई = 12 cm, ऊँचाई = 5 cm
छोटे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2(lb+bh+lh)`
`= 2(15xx12+12xx5+15xx5)`
`=2(180+60+75)=2xx315=630` sq cm
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का 5% `=630xx5%=32.5` sq cm
इसलिए जरूरी कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल = 630 + 32.5 = 662.5 sq cm
250 बड़े डिब्बे का मूल्य `=250xx1522.75xx4/(100)` = रु 1522.75
250 छोटे डिब्बे का मूल्य `=250xx662.50xx4/(100)` = रु 662.50
कुल खर्च = 1522.75 + 662.50 = रु 2185.25
प्रश्न 8: परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक संदूक के प्रकार के ढ़ाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढ़क ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मी × 3 मी और ऊँचाई 2.5 मी वाले इस ढ़ाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?
उत्तर: लम्बाई = 4m, चौड़ाई = 3 m, ऊँचाई = 2.5 m
छत का क्षेत्रफल `=lxxb=4xx3=12` sq m
कुल पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2h(l+b)=2xx2.5(4+3)`
`=5xx7=35` sq m
कुल क्षेत्रफल = 12 + 35 = 47 sq m