त्रिभुज

अभ्यास 1

प्रश्न 1: चतुर्भुज ABCD में, AC = AD है और AB कोण A को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि ΔABC ≅ ΔABD है।

BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

two triangles with a common side

उत्तर: ΔACB and ΔABD में

AC = AD

∠CAB = ∠DAB (∠CAD को AB समद्विभाजित कर रहा है)

AB = AB (साझा भुजा)

इसलिए, SAS स्वयंसिद्धि के अनुसार:

ΔACB ≅ ΔABD सिद्ध हुआ


प्रश्न 2: ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है। सिद्ध कीजिए कि

Rectangle and diagonals
  1. ΔABD ≅ ΔBAC
  2. BD = AC
  3. ∠ABD = ∠BAC

उत्तर: ΔABD और ΔBAC में

AD = BC

AB = AB (साझा भुजा)

∠BAD = ∠ABC

इसलिए SAS नियम के अनुसार, ΔABD∝ ΔBAC सिद्ध हुआ।

चूँकि ΔABD≅ ΔBAC

इसलिए, BD = AC

(त्रिभुजों की तीसरी संगत भुजाएँ)

सर्वांगसम त्रिभुजों के हर संगत कोण बराबर होते हैं।

इसलिए, ∠BAD = ∠ABC सिद्ध हुआ।

प्रश्न 3: एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लंब रेखाखंड हैं। दर्शाइए कि रेखाखंड CD, रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।

right angle triangles

उत्तर: ΔBOC और ΔAOD में

BC = AD (दिया गया है)

∠CBO = ∠DAO (समकोण)

∠BOC = ∠AOD (सम्मुख कोण)

इसलिए ASA नियम के अनुसार,

ΔBOC≅ ΔAOD

या, BO = AO

और यह सिद्ध हुआ कि AB का समद्विभाजक CD है।

प्रश्न 4: l और m दो समांतर रेखाएँ है जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है। दर्शाइए कि ΔABC ≅ ΔCDA है।

parallel lines and transversal

उत्तर: ΔABC और ΔCDA में

AB = CD (l और m समांतर हैं)

AD = BC (AB और CD समांतर हैं)

∠ABC = ∠DCm (तिर्यक रेखा BC के एक ही ओर के कोण)

∠DCm = ∠ADC

इसलिए, SAS नियम के अनुसार ΔABC≅ΔCDA

प्रश्न 5: रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं। दर्शाइए कि

angles on a  point
  1. ΔAPB ≅ ΔAQB
  2. BP = BQ है, अर्थात बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।

उत्तर: ΔAPB और ΔAQB में

AB = AB (साझा भुजा)

∠PAB = ∠QAB (∠QAP को AB समद्विभाजित करता है)

∠AQB = ∠APB (right angle)

इसलिए, ASA नियम के अनुसार, ΔAPB ≅ ΔAQB

और BQ = BP


प्रश्न 6: दी गई आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दर्शाइए कि BC = DE है।

quadrilateral

उत्तर: ΔABC और ΔADE में

AB=AD (दिया गया है)

AC = AE (दिया गया है)

चूँकि ∠BAD = ∠EAC

इसलिए, ∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC

या, ∠BAC = ∠DAE

इसलिए, SAS नियम के अनुसार ΔABC ≅ ΔADE

या, BC = DE सिद्ध हुआ

प्रश्न 7: AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य बिंदु है। D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है। दर्शाइए कि

two triangles
  1. ΔDAP ≅ ΔEBP
  2. AD = BE

उत्तर: ΔDAP और ΔEBP में

∠BAD = ∠ABE (दिया गया है)

∠EPA = ∠DPB (दिया गया है)

इसलिए, ∠EPA + ∠EPD= ∠DPB + ∠EPD

या, ∠DPA = ∠EPB

AP = PB (AB का मध्यबिंदु P है)

इसलिए, ASA नियम के अनुसार, ΔDAP≅ ΔEBP

या, AD = BE

प्रश्न 8: एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य बिंदु है। C को N से मिलाकर तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है। दर्शाइए कि

two triangles
  1. ΔAMC ≅ ΔBMD
  2. ∠DBC एक समकोण है।
  3. ΔDBC ≅ ΔACD
  4. `CM=1/2AB`

उत्तर: ΔAMC और ΔBMD में

BM = AM (M मध्य बिंदु है)

DM = CM (दिया गया है)

∠DMB = ∠AMC (सम्मुख कोण)

इसलिए, ΔAMC≅ ΔBMD

इसलिए, DB = AC

∠DBA = ∠BAC

इसलिए, DB||AC (एकांतर कोण बराबर हैं)

इसलिए, ∠BDC = ∠ACB = समकोण

(तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंत:कोण पूरक होते हैं।)

ΔDBC और ΔACB में

DB = AC (पहले सिद्ध हो चुका है)

BC = BC (साझा भुजा)

∠BDC = ∠ACB (पहले सिद्ध हो चुका है)

इसलिए, ΔDBC≅ ΔACB

इसलिए, AB = DC

इसलिए, AM = BM = CM = DM

इसलिए, `CM=1/2\AB`



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