रेखाएँ और कोण

अभ्यास 3

प्रश्न 1: दी गई आकृति में ΔPQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमश: बिंदुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: रेखा QS पर:

∠QPR + ∠SPR = 180°

या, ∠QPR = 180° - 135° = 45°

रेखा TR पर, ∠TQP + ∠PQR = 180°

या, ∠PQR = 180° - 110° = 70°

अब इन दो कोणों की मदद से तीसरे कोण का मान इस तरह निकाला जा सकता है।

∠PRQ = 180° - (70° + 45°) = 65°

प्रश्न 2: दी गई आकृति में ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमश: ΔXYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ΔXYZ में

∠XYZ + ∠YXZ + ∠XZY = 180°

या, ∠XZY = 180° - (62° + 54°) = 64°

प्रश्न के अनुसार, YO और ZO क्रमश: कोण ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं

इसलिए, ∠OYZ = 1/2∠XYZ = 54/2 = 27°

और, ∠OZY = 1/2∠XZY = 64/2 = 32°

अब, ΔOYZ में

∠YOZ = 180° - (∠OYZ + ∠OZY)

= 180° - (27° + 32°) = 121°

उत्तर: 32° और 121°

प्रश्न 3: दी गई आकृति में यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ∠BAC = ∠CED = 35° (एकांतर कोण)

ΔDCE में, ∠DCE + ∠CDE + ∠CED = 180° (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)

इसलिए, ∠DCE = 180° - (53° + 35°) = 92°

प्रश्न 4: दी गई आकृति में यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ΔPRT में:

∠PRT + ∠RPT + ∠PTR = 180°

या, ∠PTR = 180° - (95° + 40°) = 45°

चूँकि सम्मुख कोण बराबर होते हैं:

इसलिए, ∠PTR = ∠STQ = 45°

अब ΔQST में,

∠QST + ∠STQ + ∠SQT = 180°

या, ∠SQT = 180° - (75° + 45°) = 60°

प्रश्न 5: दी गई आकृति में यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: PQ || ST (दिया गया है)

इसलिए, ∠PQR = ∠QRT (एकांतर कोण)

या, `28°+x=65°`

Or, `x=65°-28°=37°`

ΔSPQ में:

`∠SPQ+x+y=180°`

या, `90°+37°+y=180°`

या, `127°+y=180°`

या, `y=180°-127°=53°`

इसलिए, `x=37°` and `y=53°`

प्रश्न 6: दी गई आकृति में, ΔPQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि `∠QTR=1/2∠QPR` है।

उत्तर: ΔPQR में:

∠SRP = ∠QPR + ∠PQR

या, `1/2∠SR\P=1/2∠QP\R+1/2∠PQ\R`

या, `½∠QP\R=1/2∠SR\P–1/2∠PQ\R` ……………(1)

ΔTQR में:

∠SRT = ∠QTR + ∠TQR

Or, `1/2∠SR\P=∠QT\R+1/2∠PQ\R`

या, `∠QT\R=1/2∠SR\P–1/2∠PQR` ……………..(2)

दोनों समीकरणों के RHS एक समान हैं, इसलिए हम यह लिख सकते हैं:

`∠QT\R=1/2∠QP\R`