रेखाएँ और कोण

अभ्यास 1

प्रश्न 1: दी गई आकृति में रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है ∠AOC + ∠BOE = 70° …………… (1)

और, ∠BOD = 40°

अब, ∠AOC = ∠BOD (सम्मुख कोण)

इसलिए, ∠AOC = 40° ………… (2)

अब, समीकरण (1) में समीकरण (2) का मान रखने पर,

∠AOC + ∠BOE = 70°

या, 40° + ∠BOE = 70°

या, ∠BOE = 70° - 40°= 30°

अब, ∠AOC + ∠BOE + ∠COE = 180° (एक रेखा के एक ही ओर बने कोणों का योग)

या, 70° + ∠COE = 180°

या, ∠COE = 180° - 70° = 110°

इसलिए, प्रतिवर्ती ∠COE = 360° - 110° = 250°

इसलिए, ∠BOE = 30° और प्रतिवर्ती ∠COE = 250°

प्रश्न 2: दी गई आकृति में रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है: ∠POY = 90°

और a : b = 2 : 3

या, `a/b = 2/3`

या, `a = (2b)/3` ……… (1)

अब, ∠POX + ∠POY = 180°

या, ∠POX + 90° = 180°

या, ∠POX = 180° - 90° = 90°

या, a + b = 90° (क्योंकि ∠POX = a + b)

या, `(2b)/3 + b = 90°`

या, `(2b + 3b)/3 = 90°`

या, 5b = 270°

या, `b = (270°)/5 = 54°`

समीकरण (1) में b का मान रखने पर,

`a = 2/3 b`

या, `a=2/3xx54º`

या, `a=2xx18º`

या, a = 36º

अब, b + c = 180º (एक रेखा के एक ही ओर के कोणों का योग)

या, 54º + c = 180º

या, c = 180º- 54º

या, c = 126º

प्रश्न 3: दी गई आकृति में यदि ∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।

उत्तर: दिया गया है: ∠PQR = ∠PRQ

सिद्ध करना है: ∠PQS = ∠PRT

प्रमाण: ∠PQR + ∠PQS = 180° (किसी रेखा के एक ओर बने कोण)

इसी तरह, ∠PRQ + ∠PRT = 180°

ऊपर के समीकरणों से:

∠PQR + ∠PQS = ∠PRQ + ∠PRT

या, ∠PQR + ∠PQS = ∠PQR + ∠PRT (क्योंकि ∠PQR = ∠PRQ दिया गया है)

या, ∠PQR + vPQS - ∠PQR = ∠PRT

या, ∠PQS = ∠PRT सिद्ध हुआ

प्रश्न 4: दी गई आकृति में यदि `x+y=w+z` है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।

उत्तर: दिया गया है x + y = w + z

सिद्ध करना है: AOB एक सरल रेखा है

प्रमाण: x + y = w + z ………………………..(1) (दिया गया है)

लेकिन, x + y + w + z = 360º (एक बिंदु के चारों ओर के कोण)

या, (x + y) + (w + z) = 360º

या, (x + y) + (x + y) = 360º (समीकरण (1) से)

या, x + y + x + y = 360º

या, 2x + 2y = 360º

या, 2(x + y) = 360º

या, x + y = `(360°)/2`

या, x + y = 180º

यानि, x और y एक रेखा के एक ही ओर बने कोणों के जोड़े बनाते हैं।

इसलिए, AOB एक रेखा है, सिद्ध हुआ।

प्रश्न 5: दी गई आकृति में POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए।

`∠ROS=1/2(∠QOS-∠POS)`

उत्तर: दिया गया है: POQ एक रेखा है।

OR ┴ PQ

किरण OS रेखा PQ से बिंदु O पर मिलती है।

प्रमाण: ∠QOS = ∠ROS + ∠ROQ …………..समीकरण (1)

∠POS = ∠POR - ∠ROS ----------समीकरण (2)

समीकरण (1) से समीकरण (2) को घटाने पर

∠QOS - ∠POS = (∠ROS + ∠ROQ) – (∠POR - ∠ROS)

या, ∠QOS - ∠POS = ∠ROS + ∠ROQ - ∠POR + ∠ROS

या, ∠QOS - ∠POS = 2∠ROS + ∠ROQ - ∠POR

या, ∠QOS - ∠POS = 2∠ROS + 90° - 90° (क्योंकि OR और PQ एक दूसरे पर लम्ब हैं)

या, ∠QOS - ∠POS = 2∠ROS

या, ½(∠QOS - ∠POS) = ∠ROS

या, ∠ROS = ½(∠QOS - ∠POS) सिद्ध हुआ

प्रश्न 6: यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया ह ऐ: ∠XYZ = 64°

अब, ∠XYZ + ∠ZYP = 180° (एक रेखा के एक ही ओर बने कोण)

या, 64° + ∠ZYP = 180°

या, ∠ZYP = 180° - 64° = 116°

चूँकि, ∠ZYP को YQ समद्विभाजित करता है

इसलिए, ∠ZYQ = ∠PYQ = ½ ∠ZYP = 116°/2 = 58°

इसलिए, ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ = 64°+ 58° = 122°

अब, प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° - 58° = 302°