पृष्ठीय क्षेत्रफल
अभ्यास 13.3
प्रश्न 1: एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 सेमी है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: d = 10.5 इसलिए, r = 5.25 cm, l = 10 cm
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πr\l`
`=(22)/7xx5.25xx10`
`=22xx7.5=165` sq cm
प्रश्न 2: एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 मी है और आधार का व्यास 24 मी है।
उत्तर: d = 24 m इसलिए, r = 12 m, l = 21 m
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πr\l`
`=(22)/7xx12xx21`
`=66xx12= 792` sq m
आधार का क्षेत्रफल `=πr^2`
`=(22)/7xx12xx12=452.16` sq m
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `=792+452.16=1244.16` sq m
प्रश्न 3: एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 वर्ग सेमी है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 सेमी है। ज्ञात कीजिए: आधार की त्रिज्या और शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
उत्तर: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 308 sq cm, l = 14 cm, r = ?
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πr\l`
या, `308=(22)/7xx\r\xx14`
या, `r=(308)/(44)=7` cm
प्रश्न 4: शंकु के आकार का एक तंबू 10 मी ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 मी है। ज्ञात कीजिए:
(a) तंबू की तिर्यक ऊँचाई
उत्तर: तिर्यक ऊँचाई का मान पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार निकाला जा सकता है:
`l^2=h^2+r^2`
`=10^2+24^2`
`=100+576=676`
या, `l=26` cm
(b) तंबू में लगे कैनवास की लागत, यदि 1 वर्ग मी कैनवास की लागत 70 रु है।
उत्तर: शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πr\l`
`=(22)/7xx24xx26`
इसलिए खर्च = क्षेत्रफल `xx` दर
`=(22)/7xx24xx26xx70` = रु 137280
प्रश्न 5: 8 मी ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 मी वाले एक शंकु के आकार का तंबू बनाने में 3 मी चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 सेमी तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
उत्तर: h = 8 m, r = 6 m
यहाँ पर: `l^2=h^2+r^2`
`=8^2+6^2`
`=64+36=100`
या, `l=10` m
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πr\l`
`=3.14xx6xx10=188.4` sq m
तिरपाल की लम्बाई `=(188.4)/3+0.2`
`=62.8+0.2=63` m
प्रश्न 6: शंकु के आधार की एक गुंबज की तिर्यक ऊँचाई और आधार का व्यास क्रमश: 25 मी और 14 मी हैं। इसकी वक्र पृष्ठ पर 210 रु प्रति 100 वर्ग मी की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
उत्तर: l = 25 m, d = 14 m या, r = 7 m
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πr\l`
`=(22)/7xx7xx25=550` sq m
खर्च = क्षेत्रफल `xx` दर
`=550xx(210)/(100)` = रु 1155
प्रश्न 7: एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: r = 7 cm, h = 2 cm
यहाँ पर: `l^2=h^2+r^2`
`=24^2+7^2`
`=576+49=625`
या, `l=25` cm
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πr\l`
`=(22)/7xx7xx25=550` sq cm
10 टोपियों के आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल `=550xx10=5500` sq cm
प्रश्न 8: किसी बस स्टॉप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 सेमी है और ऊँचाई 1 मी है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठ को पेंट करवाना है और पेंट की दर 12 रु प्रति वर्ग मी है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी? (π = 3.14 और `sqrt(1.04)=1.02` का प्रयोग कीजिए)
उत्तर: d = 40 cm या, r = 20 cm, h = 1 m
यहाँ पर: `l^2=h^2+r^2`
`=1^2+(0.2)^2`
`=1+ 0.04=1.04`
या, `l=sqrt(1.04)=1.02`
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πr\l`
`=3.14xx1.02xx0.2`
50 शंकुओं का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=3.14xx1.02xx0.2xx50`
`=3.14xx1.02xx10=32.028`
खर्च = क्षेत्रफल `xx` दर
`=32.028xx12` = रु 384.33