रैखिक समीकरण

अभ्यास 4.3

प्रश्न 1: दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए:

1. `x+y=4`
2. `x-y=2`
3. `y=3x`
4. `3=2x+y`

प्रश्न 2: बिंदु (2, 14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती हैं, और क्यों?

उत्तर: दिया गया हल है: (2, 14)

इसलिए, x = 2 और y = 14

या, एक समीकरण इस प्रकार हो सकता है:

x + y = 2 + 14 = 16

या, x + y = 16

दूसरा समीकरण इस प्रकार हो सक्ता है:

x – y = 2 – 14 = -12

या, x - y = -12

तीसरा समीकरण इस प्रकार हो सकता है:

y = 7x

या, 0 = 7x – y

या, 7x - y = 0

हम इस तरह के अनेक समीकरण लिख सकते हैं क्योंकि किसी भी दी गई बिंदु से अनगिनत रेखाएँ जा सकती हैं।

प्रश्न 3: यदि बिंदु (3, 4) समीकरण `3y=ax+7` के आलेख पर स्थित है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया समीकरण है: `3y = ax + 7`

प्रश्न के अनुसार, बिंदु (3, 4) इसी रेखा पर स्थित है।

इसलिए `x = 3` और `y = 4` दिए गए समीकरण में रखने पर,

`3 xx 4 = a xx 3 + 7`

`12 = 3a + 7`

`12 – 7 = 3a`

`5 = 3a`

या, `5/3=a`

अब समीकरण में ‘a’ का मान रखने पर,

`3y=(5/3)x+7`

अब `x=3` और `y=4` के लिए

LHS `=3y=3xx4=12`

RHS, `(5/3)x+7=(5/3)xx3+7=5+7=12`

इसलिए, LHS=RHS सिद्ध हुआ।

प्रश्न 4: एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है: पहले किलोमीटर का किराया 8 रु है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया 5 रु है। यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो, और कुल किराया y रु हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खींचिए।

उत्तर: दिया गया है, पहले किलोमीटर का किराया = रु 8

पहले किलोमीटर के बाद का किराया = रु 5 प्रति किमी

कुल दूरी = x

कुल भाड़ा = y

प्रश्न के अनुसार, (x – 1) किमी का भाड़ा = 5(x-1)

इसलिए कुल भाड़ा = 5(x-1) + 8

या, y = 5(x-1) + 8

या, y = 5x – 5 + 8

`y = 5x + 3`

इसलिए, `y = 5x + 3` ही अभीष्ट रैखिक समीकरण है।

प्रश्न 5: निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों से सही समीकरण का चयन कीजिए:

आकृति (1) के लिए

1. `y=x`
2. `x+y=0`
3. `y=2x`
4. `2+3y=7x`

उत्तर: पहले ग्राफ में तीन हल दिए गए हैं: (0, 0), (-1, 1) (1, -1)

तीनों हलों से पता चलता है कि विकल्प इसका सही उत्तर नहीं है।

अब विकल्प b की जाँच करते हैं।

0 + 0 = 0

`-1+1=`

`1-1=0`

यानि विकल्प b सही उत्तर है।

आकृति (2) के लिए

1. `y=x+2`
2. `y=x-2`
3. `y=-x+2`
4. `x+2y=6`

उत्तर: ग्राफ (2) के हल इस प्रकार हैं: (-1, 3), (0, 2), (2, 0)

सबसे पहले विकल्प की जाँच करते हैं:

पहले हल के लिए

`3 = - 1 + 2`

`3≠1`

इसलिए यह सही विकल्प नहीं है।

अब दूसरे विकल्प के लिए जाँच करते हैं:

`x-2=-1-2=-3≠3`

इसलिए यह सही विकल्प नहीं है।

अब तीसरे विकल्प की जाँच करते हैं।

`-x+2=1+2=3=y`

दूसरे हल के लिए

`-x+2=0+2= y`

इसलिए यह सही विकल्प है।

प्रश्न 6: एक अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए। यदि पिंड द्वारा तय की गई दूरी (1) 2 मात्रक (2) 0 मात्रक हो तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि पिंड द्वारा तय की गई दूरी = x मात्रक है, और किया गया कार्य y मात्रक है।

प्रश्न के अनुसार, `y = 5x` ……… (1)

अब समीकरण में `x = 0` रखने पर

`y = 5 xx 0 = 0`

इसलिए हल (0, 0) हुआ।

अब समीकरण (1) में `x = 1` रखने पर `y = 5 xx 1 = 5`

इसलिए हल हुआ (1, 5)

समीकरण (1) में `x = 2` रखने पर,

`y = 5 xx 2 = 10`

इसलिए हल हुआ (2, 10)

प्रश्न 7: एक विद्यालय की कक्षा 9 की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रु अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आँकड़ों को संतुष्ट करती हो। इस समीकरण का आलेख खींचिए।

उत्तर: मान लीजिए यामिनी ने x रु और फातिमा ने y रु दिए।

प्रश्न के अनुसार, `x + y = 100` …………..(1)

समीकरण (1) में x = 0 रखने पर

`0 + y = 100`

या, y = 100.

समीकरण में x = 50 रखने पर

`50 + y = 100`

या, `y = 100` – 50

`y = 50`

प्रश्न 8: अमरीका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है:

`F=(9/5)C+32`

(a) सेल्सियस को x-अक्ष और फारेनहाइट को y-अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खींचिए।

उत्तर: सेल्सियस को x-अक्ष पर तथा फारेनहाइट को y-अक्ष पर लेते हैं।

मान लीजिए C = x और F = y है।

इसलिए समीकरण को इस तरह से लिखा जा सकता है।

`y=(9/5)x+32` ……………(1)

अब समीकरण (1) में `x=0` रखने पर

`y=(9/5)xx0+32=0+32=32`

इसलिए (0, 32) हल हुआ।

अब समीकरण (1) में `x=5` रखने पर

`y=(9/5)xx5+32=9+32=41`

इसलिए (5, 41) हल हुआ।

अब समीकरण (1) में `x=-5` रखने पर

`y=(9/5)xx(-5)+32=-9+32=23`

इसलिए (-5, 23) हल हुआ।

(b) यदि तापमान 30° C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?

उत्तर: यदि C = 30°

तो `F=(9/5)xx30+32=54+32=86°`

(c) यदि तापमान 95° F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?

उत्तर: यदि F = 95°

तो `95=(9/5)xxC+32`

या,`95-32=(9/5)C`

या, `63=(9/5)C`

या, `C=63xx(5/9)=35`

(d) यदि तापमान 0° C है तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? यदि तापमान 0° F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?

उत्तर: यदि C = 0

तो `F=(9/5)xx0+32=0+32=32`

यदि F = 0

तो `0=(9/5)C+32`

या, `(9/5)C=-32`

या, `x=-32xx5/9=-17.8`

(e) क्या ऐसा भी कोई तापमान है तो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकत: समान है? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।

उत्तर: F = C = x

`x=9/5x+32`

`x-9/5x=32`

`(5x-9x)/5=32`

Or, `-4x=160`

Or, `x=-40`

अभ्यास 4.4

प्रश्न 1: एक चर वाले और दो चर वाले समीकरण के रूप में `y=3` का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।

उत्तर: एक चर वाले समीकरण के लिए: y = 3

दो चर वाले समीकरण के लिए: y = 3

या, 0x + y = 3

या, 0x + y – 3 = 0

इस समीकरण का ग्राफ x-अक्ष के समांतर और उस अक्ष से 3 यूनिट की धनात्मक दूरी पर होगा।

इस समीकरण के दो संभव हल हो सकते हैं: (0, 3), (1, 3)

प्रश्न 2: एक चर वाले और दो चर वाले समीकरण के रूप में `2x+9=0` का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।

उत्तर: दिया गया है: 2x + 9 = 0

या, 2x + 0y + 9 = 0

या, `x = - 9/2 = - 4.5`

इस समीकरण का ग्राफ y-अक्ष के समांतर और उस अक्ष से ऋणात्मक दूरी पर होगा।

समीकरण के दो संभावित हल हैं: A(-4.5, 0), B(-4.5, 2).