समांतर चतुर्भुज
अभ्यास 3
Part 3
प्रश्न 11: इस आकृति में ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि
- ar(ACB) = ar(ACF)
- ar(AEDF) = ar(ABCDE)
उत्तर: त्रिभुज ACB और ACF समान आधार CF पर बने हैं और समान समांतर रेखाओं AC और BF के बीच बने हैं
इसलिए, ar(ACB) = ar(ACF)
अब, ar(ACB) + ar(ACDE) = ar(ACF) + ar(ACDE)
या, ar(ABCDE) = ar(AEDF) सिद्ध हुआ
प्रश्न 12: गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केंद्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबंध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव कि किस प्रकार कार्यांवित किया जा सकता है।
उत्तर: ABCD एक चतुर्भुज है। A को C से मिलाइए और BE||AC खींचिए जो DC को E तक बढ़ाने पर काटता है।
सिद्ध करना है: ar(ADE) = ar(ABCD)
BE||AC
इसलिए, AB = CE
ar(ACB) = ar(CAE) (समान आधार और समांतर भुजाओं के बीच बने त्रिभुज)
ar(ACB) + ar(ADC) = ar(CAE) + ar(ADC)
या, ar(ADE) = ar(ABCD) सिद्ध हुआ
प्रश्न 13: ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है। AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि ar(ADX) = ar(ACY) है। (संकेत: CX को मिलाइए)
उत्तर: ABCD एक समलंब है जिसमें AB||DC तथा XY||AC
यहाँ: ar(ACY) = ar(ACX) (समान आधार और समांतर भुजाओं के त्रिभुज)
ar(ADX) = ar(ACX)(समान आधार और समांतर भुजाओं के त्रिभुज)
इसलिए, ar(ADX) = ar(ACY) सिद्ध हुआ
प्रश्न 14: इस आकृति में AP || BQ ||CR है। सिद्ध कीजिए कि ar(AQC) = ar(PBR) है।
उत्तर: ar(ABQ) = ar(PBQ) (समान आधार और समांतर भुजाओं के त्रिभुज)
ar(BQC) = ar(RBQ) (समान आधार और समांतर भुजाओं के त्रिभुज)
इसलिए, ar(ABQ) + ar(BQC) = ar(PBQ) + ar(RBQ)
या, ar(AQC) = ar(PBR) सिद्ध हुआ
प्रश्न 15: चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar(AOD) = ar(BOC) है। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है।
उत्तर: ar(AOD) = ar(BOC) (दिया गया है)
ar(AOD) + ar(DOC) = ar(BOC) + ar(DOC)
या, ar(ADC) = ar(BDC)
इसलिए, AB||DC
इसलिए यह सिद्ध हुआ कि ABCD एक समलंब है।
प्रश्न 16: इस आकृति में ar(DRC) = ar(DPC) है और ar(BDP) = ar(ARC) है। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPRसमलंब हैं।
उत्तर: ar(DRC) = ar(DPC) (दिया गया है)
इसलिए, DC||RP
इसलिए, DCPR एक समलंब है
अब, ar(BDP) = ar(ARC) (दिया गया है)
या, ar(BDP) – ar(DPC) = ar(ARC) – ar(DRC)
या, ar(ADC) = ar(BDC)
इसलिए, AB||DC
इसलिए, ABCD एक समलंब है।