गोले का आयतन
अभ्यास 13.8
प्रश्न 1: उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है:
(a) 7 सेमी
उत्तर: गोले का आयतन `=4/3πr^3`
`=4/3xx(22)/7xx7^3=1437.33` घन सेमी
(b) 0.63 मी
उत्तर: गोले का आयतन `=4/3πr^3`
`=4/3xx(22)/7xx0.63^3=1.047` घन मी
प्रश्न 2: उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है:
(a) 28 सेमी
उत्तर: गोले का आयतन `=4/3πr^3`
`=4/3xx(22)/7xx28^3=91989.33` घन सेमी
(b) 0.21 मी
उत्तर: गोले का आयतन `=4/3πr^3`
`=4/3xx(22)/7xx0.2^3=0.38808` घन मी
प्रश्न 3: धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 सेमी है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति घन सेमी है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: गोले का आयतन `=4/3πr^3`
`=4/3xx(22)/7xx4.2^3=310.464` घन सेमी
द्रव्यमान = आयतन × घनत्व
`=310.464xx8.9=2763.1296` ग्राम = 2.76 किग्रा
प्रश्न 4: चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन सी भिन्न है?
उत्तर: मान लीजिए कि पृथ्वी की त्रिज्या R है, तो चंद्रमा की त्रिज्या `=R/4`
पृथ्वी का आयतन `=4/3πR^3`
चंद्रमा का आयतन `=4/3π(R/4)^3`
अनुपात `=(4/3πR^3)/(4/3π(R/4)^3)`
= 64 : 1
प्रश्न 5: व्यास 10.5 सेमी वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
उत्तर: अर्धगोले का आयतन `=2/3πr^3`
`=2/3xx(22)/7xx5.25^3=303.1875` घन सेमी = 0.303 लीटर
प्रश्न 6: एक अर्धगोलाकार टंकी 1 सेमी मोटी एक लोहे की चादर से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 मी है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर: आंतरिक त्रिज्या r = 1 m, बाहरी त्रिज्या R = 1.01 m
धातु का आयतन `=4/3π(R^3-r^3)`
`=4/3xx(22)/7(1.01^3 - 1^3)`
`=4/3xx(22)/7xx0.030301=0.06348` घन मी
प्रश्न 7: उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठ क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है।
उत्तर: गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल `=4πr^2`
या, `154=4xx(22)/7xx\r^2`
या, `r^2=(154xx7)/(22xx4)=(49)/4`
या, `r=7/2=3.5` सेमी
गोले का आयतन `=4/3πr^3`
`=4/3xx(22)/7xx3.5^3=179.67` घन सेमी
प्रश्न 8: किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में 498.96 रु व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर 2 रु प्रति वर्ग मी है, तो ज्ञात कीजिए:
(a) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
उत्तर: अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = खर्च ÷ दर
`=(498.96)/2=249.48` वर्ग मी
या, `2πr^2=249.48`
या, `r^2=(249.48xx7)/(2xx22)`
या, `r=6.3` मी
(b) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन
अर्धगोले का आयतन `=2/3πr^3`
`=2/3xx(22)/7xx6.3^3=523.908` घन मी
प्रश्न 9: लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S है। ज्ञात कीजिए:
(a) नए गोले की त्रिज्या r'
उत्तर: मान लीजिए कि बड़े गोले की त्रिज्या r है, और छोटे गोले की त्रिज्या R है।
प्रश्न के अनुसार, गोलों के आयतन का अनुपात = 27 : 1
बड़े गोले का आयतन `=4/3πr^3`
छोटे गोले का आयतन `=4/3πR^3`
अनुपात `=(4/3πr^3)/(4/3πR^3)=(27)/1`
या, `(r^3)/(R^3)=(27)/1`
या, `=r/R=3/1`
या, `r=R/3`
(b) S और S' का अनुपात
उत्तर: चूँकि `r=R/3` इसलिए `R=3r`
बड़े गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल `=4π(3r)^2`
छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल `=4πr^2`
दोनों का अनुपात `=(4π9r^2)/(4πr^2)=9/1`
प्रश्न 10: दवाई का एक कैपसूल 3.5 मिमी व्यास का एक गोला है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी (घन मिमी में) की आवश्यकता होगी?
उत्तर: गोले का आयतन `=4/3πr^3`
`=4/3xx(22)/7xx1.75^3= 22.46` घन मिमी