आयतन

अभ्यास 13.9

प्रश्न 1: एक लकड़ी के बुकशेल्फ की बाहरी विमाएँ निम्न हैं:

ऊँचाई = 110 सेमी, गहराई = 25 सेमी, चौड़ाई = 85 सेमी। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 सेमी है। इसके बाहरी फलकों पर पालिश कराई जाती है और आंतरिक फलकों पर पेंट किया जाता है। यदि पालिश कराने की दर 20 पैसे प्रति वर्ग सेमी है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति वर्ग सेमी है, तो इस बुक शेल्फ पर पालिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पीछे की दीवार का क्षेत्रफल = 110 × 85 = 9350 वर्ग सेमी

बगल की दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × 110 × 25 = 5500 वर्ग सेमी

आधार और छत का क्षेत्रफल = 2 × 85 × 25 = 4250 वर्ग सेमी

आगे वाले भाग में पॉलिश वाले जगह का क्षेत्रफल इस तरह निकाला जा सकता है:

ऊर्ध्वाधर (नीले हिस्से) का क्षेत्रफल = 2 × 110 × 5 = 1100 वर्ग सेमी

क्षैतिज (नीले हिस्से का क्षेत्रफल = 4 × (85 – 10) × 5 = 1500 वर्ग सेमी

पॉलिश कराने वाले भाग का क्षेत्रफल = 9350 + 5500 + 4250 + 1500 + 1100 = 21700 वर्ग सेमी

खर्च = 21700 × 20 = 434000 पैसे = 4340 रु

भीतर वाले किसी एक खाने का पृष्ठ क्षेत्रफल = 2(30 + 75) × 25

(नोट: ऊँचाई (110 सेमी) में से चार पट्टियों की मोटाई (4 × 5 = 20 सेमी) घटाने पर 90 सेमी शेष आता है। इसे 3 से विभाजित करने पर हर खाने की ऊँचाई 30 सेमी आती है। इसी तरह चौड़ाई (85 सेमी) में से 10 सेमी घटाने पर 75 सेमी शेष आता है।)

= 2 × 105 × 25 = 5250 वर्ग सेमी

कुल तीन खानों का क्षेत्रफल = 3 × 5250 = 15750 वर्ग सेमी

खर्च = 15750 × 10 = 157500 पैसे = 1575 रु

कुल खर्च = 4340 + 1575 = 5915 रु

प्रश्न 2: किसी घर के कंपाउंड की सामने की दीवार को 21 सेमी व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि इस आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 सेमी त्रिज्या और ऊँचाई 7 सेमी का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति वर्ग सेमी है तथा काले रंग के पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति वर्ग सेमी हो, तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल `=4πr^2`

`=4xx(22)/7xx(21)/2xx(21)/2=1386` वर्ग सेमी

इसमें से हमें बेलन के आधार का क्षेत्रफल घटाना होगा, क्योंकि बाकी हिस्से में ही पेंट होगा।

बेलन के आधार का क्षेत्रफल `=pi;r^2`

`=(22)/7xx1.5^2=6.6` वर्ग सेमी

गोले के पेंट किये जाने वाले हिस्से का क्षेत्रफल = 1386 – 6.6 = 1379.4 वर्ग सेमी

8 गोलों को चाँदी के रंग में पेंट कराने का खर्च `=8xx1379.4xx0.25=2658.80` रु

अब, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2πr\h`

`=2xx(22)/7xx1.5xx7=66` वर्ग सेमी

8 बेलनों को काले पेंट से पेंट कराने का खर्च `=8xx66xx0.05=26.40` रु

कुल खर्च = 2658.80 + 26.40 = 2685.20 रु

प्रश्न 3: एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है?

उत्तर: गोले के व्यास में 25% की कमी का मतलब है कि उसकी त्रिज्या में भी 25% की कमी हो जायेगी। यदि गोले की त्रिज्या r है तो नई त्रिज्या 0.75 r हो जायेगी।

गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=4πr^2`

त्रिज्या घटने के बाद गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=4π(0.75r)^2`

अंतर `=4πr^2-4π(0.75r)^2`

`=4πr^2-4π0.5625r^2`

`=4πr^2(1-0.5625)`

`=4π0.4375r^2`

यानि पृष्ठ क्षेत्रफल में 43.75% की कमी आ जायेगी