आयतन

अभ्यास 13.7

शंकु

प्रश्न 1: उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी

(a) त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है।

उत्तर: दिया गया है: r = 6 cm, h = 7 cm

शंकु का आयतन `=1/3πr^2h`

`=1/3xx(22)/7xx6^2xx7=264` घन सेमी

(b) त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।

उत्तर: दिया गया है: r = 3.5 cm, h = 12 cm

शंकु का आयतन `=1/3πr^2h`

`=1/3xx(22)/7xx3.5^2xx12=154` घन सेमी


प्रश्न 2: शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी

(a) त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है।

उत्तर: दिया गया है: `r=7` cm, `l=25` cm

यहाँ, `h^2=l^2-r^2`

`=25^2-7^2`

=625 – 49 = 576

या, `h=24` सेमी

शंकु का आयतन `=1/3πr^2h`

`=1/3xx(22)/7xx7^2xx24=1232` घन सेमी = 1.232 लीटर

(b) ऊँचाई 12 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 13 सेमी है।

उत्तर: दिया गया है: `h=12` cm, `l=13` cm

यहाँ `r^2=l^2-h^2`

`=13^2-12^2`

= 169 – 144 = 25

या, `r=5` सेमी

शंकु का आयतन `=1/3πr^2h`

`=1/3xx3.14xx5^2xx12=314` घन सेमी = 0.314 लीटर

प्रश्न 3: एक शंकु की ऊँचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570 घन सेमी है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए‌)

उत्तर: दिया गया है: आयतन = 1570 घन सेमी, h = 15 cm, r = ?

शंकु का आयतन `=1/3πr^2h`

या, `1570=1/3xx3.14xx\r^2xx15`

या, `r^2=(1570xx3)/(3.14xx15)=100`

या, `r=10` सेमी

प्रश्न 4: यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48 घन सेमी है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है: आयतन = 48 π घन सेमी, h = 9 सेमी, r = ?

शंकु का आयतन `=1/3πr^2h`

या, `48π=1/3πr^2xx9`

या, `r^2=(48)/3=16`

या, `r=4` सेमी

प्रश्न 5: ऊपरी व्यास 3.5 मी वाले शंकु के आकार का एक गड्ढ़ा 12 मी गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?

उत्तर: दिया गया है: r = 3.5 m, h = 12 m

शंकु का आयतन `=1/3πr^2h`

`=1/3xx(22)/7xx3.5^2xx12=154` घन मी = 154 किलो लीटर


प्रश्न 6: एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 घन सेमी है। यदि इसके आधार का व्यास 28 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए:

(a) शंकु की ऊँचाई

उत्तर: दिया गया है: आयतन = 9856 घन सेमी, d = 28 सेमी इसलिए, r = 14 सेमी

शंकु का आयतन `=1/3πr^2h`

या, `9856=1/3xx(22)/7xx14^2xx\h`

या, `h=(9856xx3xx7)/(22xx196)=48` सेमी

(b) शंकु की तिर्यक ऊँचाई

उत्तर: यहाँ: `l^2=h^2+r^2`

`=48^2+14^2=2500`

या, `l=50` सेमी

(c) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

उत्तर: शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πrl`

`=(22)/7xx14xx50= 2200` वर्ग सेमी

प्रश्न 7: भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सेमी के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है: h = 12 cm, r = 5 cm

शंकु का आयतन `=1/3πr^2h`

`=1/3π\xx5^2xx12=100π` घन सेमी

प्रश्न 8: यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को भुजा 5 सेमी के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है: h = 5 cm, r = 12 cm

शंकु का आयतन `=1/3πr^2h`

`=1/3π\xx12^2xx5=240π` घन सेमी

अनुपात `=(100)/(240)` = 5 : 12

प्रश्न 9: गेहूँ की एक ढ़ेरी 10.5 मी व्यास और ऊँचाई 3 मी वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढ़ेरी को वर्षा से बचाने के लिए कैनवास से ढ़का जाना है। वांछित कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है: r = 5.25 m, h = 3 m

शंकु का आयतन `=1/3πr^2h`

`=1/3xx(22)/7xx5.25^2xx3`

= 50.625 घन मी



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