हीरोन फॉर्मूला

अभ्यास 12.2

Part 1

प्रश्न 1: एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90°, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है?

उत्तर: इस आकृति के अनुसार AB = 9 cm, BC = 12 cm, CD = 5 cm और AD = 8 cm. ∠C = 90°

ΔBDC में:

BD² = BC² + DC²

= 12² + 5²

= 144 + 25 = 169

या, BD = 13 cm

ΔBCD का क्षेत्रफल `=1/2xx\BC\xx\CD`

`=1/2xx12xx5=30` sq cm

ΔABD में: a = 9 cm, b = 13 cm और c = 8 cm

अब, `s=(9+13+8)/2=15`

क्षेत्रफल `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt(15(15-9)(15-13)(15-8))`

`=sqrt(15xx6xx2xx7)=6sqrt(35)` sq cm

कुल क्षेत्रफल = 30 + 36 = 66 sq cm (लगभग)

प्रश्न 2: एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm है।

क्षेत्रफल: ΔABC में `s=(3+4+5)/2=6`

क्षेत्रफल `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt(6(6-3)(6-4)(6-5))`

`=sqrt(6xx3xx2xx1)=6` sq cm

Δ ADC में `s=(5+5+4)/2=7`

क्षेत्रफल `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt(7(7-5)(7-5)(7-4))`

`=sqrt(7xx2xx2xx3)=2sqrt(21)=9` sq cm (लगभग)

कुल क्षेत्रफल = 6 + 9 = 15 sq cm (लगभग)

प्रश्न 3: राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाईजहाज का चित्र बनाया, जैसा कि इस आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Part I (त्रिभुज): a = 5 cm, b = 5 cm और c = 1 cm

इसलिए, `s=(5+5+1)/2=5.5`

क्षेत्रफल`=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c) )`

`=sqrt(5.5(5.5-5)(5.5-5)(5.5-1))`

`=sqrt(5.5xx0.5xx0.5xx4.5)`

`=0.75sqrt(11)=2.488` sq cm (लगभग)

Part II (चतुर्भुज): लम्बाई = 6.5 cm और चौड़ाई = 1 cm

क्षेत्रफल `=6.5xx1=6.5` sq cm

Part III (समलम्ब): यह तीन समबाहु त्रिभुजों से मिलकर बना है जिनकी भुजा = 1 cm

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल `=(sqrt3)/(4)xx(si\de)^2`

`= (sqrt3)/(4) xx 1^2`

इसलिए part III का क्षेत्रफल `= (3sqrt3)/(4) = 1.3` sq cm (लगभग)

Part IV और V (त्रिभुज): b = 6 cm और h = 1.5 cm

त्रिभुज का क्षेत्रफल `=1/2xx\h\xx\b`

`=1/2xx1.5xx6=4.5` sq cm

Part IV + Part V का क्षेत्रफल = 9 sq cm

कुल क्षेत्रफल = 2.488 + 6.5 + 1.3 + 9 = 19.3 sq cm

प्रश्न 4: एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 सेमी, 28 सेमी और 30 सेमी हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 सेमी के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया हुआ है; a = 26 cm, b = 28 cm और c = 30 cm, और समांतर चतुर्भुज का आधार = 28 cm

त्रिभुज के लिए: `s=(26+28+30)/2=(84)/2=42`

क्षेत्रफल `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt(42(42-26)(42-28)(42-30))`

`=sqrt(42xx16xx14xx12)`

`=sqrt(7xx2xx3xx4xx4xx2xx7xx2xx2xx3)`

`=sqrt(7^2xx3^2xx16^2)`

`=7xx3xx16=336` sq cm

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल= आधार × ऊँचाई

या, 336 = 28 × ऊँचाई

या, ऊँचाई `=(336)/(28)=12` cm