वृत्त

अभ्यास 5

Part 2

प्रश्न 5: इस आकृति में, एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिंदु हैं। AC और BD एक बिंदु E पर इस प्रकार विच्छेदित करते हैं कि ∠BEC = 130° तथा ∠ECD = 20° है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ΔEDC में, ∠EDC + ∠ECD = 130°

चूँकि त्रिभुज का बाह्यकोण सामने के दो अंत:कोणों के योग के बराबर होता है।

या, ∠EDC = 130° - 20° = 110°

जीवा के एक ही ओर बने कोण बराबर होते हैं

इसलिए, ∠BAC = ∠BDC = 110°

प्रश्न 6: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। पुन: यदि AB = BC हो, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें AB = BC, और ∠DBC = 70° तथा ∠BAC = 30°

∠DAC = ∠DBC = 70°

चूँकि जीवा के एक ही ओर बने कोण बराबर होते हैं।

अब, ∠DAB = ∠DAC + ∠BAC

या, ∠DAB = 70° + 30° = 100°

चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण पूरक होते हैं।

इसलिए, ∠BCD = 180° - ∠DAB

या, ∠BCD - 180° - 100° = 80°

ΔABC में, AB = BC

इसलिए, ∠BAC = ∠BCA = 30°

इसलिए, ∠ECD = ∠BCD - ∠BCA

या, ∠ECD = 80° - 30° = 50°

प्रश्न 7: यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि यह एक आयत है।

उत्तर: केंद्र O पर एक वृत्त है जिसमें चक्रीय चतुर्भुज ABCD के विकर्ण आपस में बिंदु O पर काटते हैं। इसका मतलब है, AC = BD = व्यास

सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है।

ΔAOB और ΔOBC में, AO = OC

BO = BO

ये सभी त्रिज्याएँ हैं।

इसलिए, ΔAOB ≅ ΔOBC

इसलिए, ∠AOB = ∠BOC

चूँकि ये कोण रेखीय जोड़े बनाते हैं

इसलिए, ∠AOB + ∠BOC = 180°

या, 2∠AOB = 180°

या, ∠AOB = 90°

अब, ΔAOB में, AO = OB

इसलिए, ∠OAB = ∠OBA

या, ∠OAB + ∠OBA = 90°

या, 2∠OAB = 90°

या, ∠OAB = 45°

इसी तरह यह सिद्ध किया जा सकता है कि ∠OBC = ∠OCB = ∠OCD = ∠ODC = 45°

इसका मतलब है ∠OBA + ∠OBC = 90°

इसी तरह हम यह सिद्ध कर दें कि दिये गये चतुर्भुज के सभी कोण समकोण हैं।

इसलिए यह सिद्ध हुआ कि ABCD एक आयत है।

प्रश्न 8: यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।

उत्तर: समलंब ABCD दिया गया है जिसमें, AB||DC और AD = BC

जैसा की आकृति में दिखाया गया है, इन कोणों के नाम 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 रख देते हैं।

ΔADC और ΔBCD में, AD = BC (दिया गया है)

DC = DC (उभयनिष्ठ भुजा)

इसलिए, ΔADC ≅ ΔBCD

इसलिए, ∠1 = ∠4 .............(1)

और ∠7 = ∠6 ……………(2)

ΔDAB और ΔCBA में, AD = BC (दिया गया है)

AB = AB (उभयनिष्ठ भुजा)

इसलिए, ΔDAB ≅ ΔCBA

इसलिए, ∠8 = ∠5 …………..(3)

और ∠2 = ∠3 ……………(4)

अब, ∠1 + ∠4 + ∠7 + ∠6 + ∠8 + ∠5 + ∠2 + ∠3 = 360° (चतुर्भुज के कोणों का योग)

समीकरण (1), (2), (3) और (4) से

या, ∠1 + ∠1 + ∠6 + ∠6 + ∠5 + ∠5 + ∠2 + ∠2 = 360°

या, 2(∠1 + ∠2 + ∠6 + ∠5) = 360°

या, ∠1 + ∠2 + ∠6 + ∠5 = 180°

या, ∠DAB + ∠BCD = 180°

इसी तरह यह सिद्ध किया जा सकता है, ∠ABC + ∠CDA = 180°

यहाँ पर सम्मुख कोण पूरक हैं। इसलिए दिया गया चतुर्भुज एक चक्रीय चतुर्भुज है।